y = ln x
Plantilla recortada según y = ln x Tiras: suben hasta tocar la plantilla (rectángulos inscritos) Topes: los límites x = 1 y x = e Subrayado: el área A que hay que calcular Esfera: la suma de las tiras, con la marca en 1 La región está acotada por la gráfica de ln x, el eje de abscisas y la recta x = e. El otro límite no lo da el enunciado: sale de cortar con el eje, ln x = 0 ⇒ x = 1, que es el tope rojo de la izquierda. Cada tira mide Δx = (e − 1)/n de ancho y sube hasta que su esquina izquierda toca la plantilla, así que su altura es ln x en ese punto. Lo que queda subrayado entre las tiras y la curva es lo que les falta: al doblar n se reduce casi a la mitad, y la suma de las tiras se acerca a 1. 𝐴 = ∫₁ᵉ ln 𝑥 d𝑥 = [𝑥 ln 𝑥 − 𝑥]₁ᵉ = (𝑒 − 𝑒) − (0 − 1) = 1 u²𝑢 = ln 𝑥, d𝑣 = d𝑥 ⇒ ∫ ln 𝑥 d𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 · ¹⁄ₓ d𝑥 el límite de abajo es 1, no 0: ¡ln 1 = 0! Suma inferior con n tiras: s2 = 0,533 · s4 = 0,776 · s8 = 0,890 · s16 = 0,946 · s32 = 0,973 · s64 = 0,987. La superior, con la altura de la derecha, siempre es (e − 1)/n mayor; el área queda atrapada entre las dos. PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · ordinaria · pregunta 5.1