Ranuras: los dos tramos de la gráfica de f Mando y carro: suben o bajan el tramo izquierdo, el parámetro a Bola del gramil: el punto (x, f(x)) que recorre la gráfica Rojo: el nivel f = 0 (escalas y guía derecha), la junta x = 0 en la regla y los índices del gramil Subrayado: la junta lisa, cuando lím x→0 f = f(0) Una función es continua en un punto x₀ si se cumplen tres cosas: existe f(x₀), existe el límite de f en x₀ (es decir, los dos límites laterales coinciden) y ese límite es igual a f(x₀). En la junta, f(0) = 0 lo da el tramo derecho, que también da el límite por la derecha, 0; el tramo izquierdo, que no llega a x = 0, tiende a 1 + a. Con el mando subes o bajas solo ese tramo: mientras 1 + a ≠ 0, las dos ranuras no se encuentran, el límite en 0 no existe y la bola se queda en el escalón. Con a = −1 la junta queda lisa y la bola pasa: f es continua en 0 y, como cada tramo lo es, en todo ℝ. 𝑓(𝑥) = 𝑒³ˣ − 𝑥 + 𝑎 si 𝑥 < 0 · 𝑓(𝑥) = −𝑥³ + 2𝑥² si 𝑥 ≥ 0lím𝑥→0⁻ 𝑓 = 1 + 𝑎 · lím𝑥→0⁺ 𝑓 = 𝑓(0) = 0 · continua en 0 ⇔ 1 + 𝑎 = 0 ⇔ 𝑎 = −1 ¡dos laterales y f(0): los tres iguales! La escala de la columna marca dónde acaba la ranura izquierda, 1 + a, y la del gramil, la altura f(x) de la bola; las dos tienen el cero en el nivel de f(0). En [0, 2] el tramo derecho no baja de 0 y sube hasta 32/27 ≈ 1,185 en x = 4/3. PAU Madrid · modelo 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · pregunta 2.2 a)