Ranura de la leva: la gráfica de f en [0, 3] Pasadores P en x₀ y Q en x₀ + h, guiados por la ranura Regla amarilla: la recta que pasa por P y Q Inclinómetro: lee la pendiente de la regla Índice rojo: x₀ = 2, el punto del examen La regla pasa siempre por P = (x₀, f(x₀)) y por Q = (x₀ + h, f(x₀ + h)), así que es una secante y su pendiente es el cociente incremental [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. Al girar el mando, Q se acerca a P por la ranura y la regla gira; esas pendientes se acercan a un número, la derivada f′(x₀), y la recta límite es la tangente en P: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). En x₀ = 2 la secante pasa de 1,061 con h = 1 a 0,599 con h = 0,02, y el límite es 2e²/25 ≈ 0,591. 𝑓′(𝑥₀) = limℎ→0 [𝑓(𝑥₀ + ℎ) − 𝑓(𝑥₀)]/ℎ · 𝑓′(𝑥) = 2𝑒ˣ(𝑥 − 1)²/(1 + 𝑥²)²𝑥₀ = 2: 𝑦 − 2𝑒²/5 = (2𝑒²/25)(𝑥 − 2), es decir, 𝑦 = (2𝑒²/25)𝑥 + 6𝑒²/25 en x = 1 la tangente es horizontal, ¡y no es ni máximo ni mínimo! Pendiente de la secante en x₀ = 2: h = 1,00: 1,061 · h = 0,50: 0,810 · h = 0,20: 0,676 · h = 0,10: 0,633 · h = 0,05: 0,612 · h = 0,02: 0,599. Como f′(x) ≥ 0 para todo x ≥ 0 y solo se anula en x = 1, f es creciente: en x = 1 la tangente es horizontal y atraviesa la curva (punto de inflexión), no hay extremo. El inclinómetro es un péndulo: su esfera gira con la regla, la aguja cuelga vertical y la marca de cada pendiente m está a un ángulo atan(m) del cero, así que la aguja lee m. PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · convocatoria ordinaria · pregunta 5.2 b)