0123456789001234567890012345678900123456789001234567890€
Losa bajo techo: 30 €/m² Losa a la intemperie, tratada contra el agua: 50 €/m² Pérgola: el rectángulo techado, con su esquina sobre la hipotenusa Pomo y rodillo: la x elegida y su coste Muesca roja: el mínimo de la curva, x = 21 Subrayado: la zona techada cuando el coste es mínimo El jardín mide 42 · 56 / 2 = 1176 m². Si la zona techada mide x por y, su esquina está en la hipotenusa: x/42 + y/56 = 1, es decir, y = 56 − 4x/3. Todo lo que no está bajo techo cuesta 20 € más por metro cuadrado, así que el coste baja cuanto mayor es el rectángulo techado. Al mover el pomo, la pérgola crece en un sentido y encoge en el otro, y el rodillo de detrás recorre la curva del coste: una parábola que toca fondo en x = 21 m, con y = 28 m. Ahí el techo cubre 588 m², justo la mitad del jardín, y el coste es mínimo: 47.040 €. 𝐶(𝑥) = 30𝑥𝑦 + 50(1176 − 𝑥𝑦) = 58 800 − 1 120𝑥 + (80/3)𝑥², 0 ≤ 𝑥 ≤ 42𝐶′(𝑥) = −1 120 + (160/3)𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 21, 𝐶″(𝑥) = 160/3 > 0 ⇒ mínimo la respuesta son las dimensiones: 21 × 28 m En los extremos, x = 0 o x = 42, no hay techo y todo el suelo es del caro: 50 · 1176 = 58.800 €. La parábola es simétrica respecto de x = 21: x = 6 y x = 36 cuestan lo mismo, 53.040 €, y x = 15 y x = 27, 48.000 €. PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · ordinaria · pregunta 2