Rango de una matriz con parámetro · la caja de las filas

Varillas: las filas f₁, f₂ y f₃ de A, con una, dos y tres muescas Hilos: cierran la caja (el paralelepípedo) que generan las tres filas Cara sombreada: el paralelogramo de f₂ y f₃, que nunca se aplasta Subrayado: el plano en el que caben las tres filas cuando det A = 0 Carro: el dial lo lleva por el carril y marca λ, de 0 a 4 Gramil: su cursor sube hasta el volumen de la caja, |det A| Testigo: se enciende en amarillo cuando la caja se aplasta y el rango baja a 2 Rojo: λ = 1 y λ = 3 en el dial y en el carril, y el cero del medidor de det A y del gramil Regla: una marca grande por cada unidad de la matriz; la placa lleva grabada A El rango de A es el número máximo de filas linealmente independientes, que es el mismo que el de columnas. Las tres filas de A, puestas como varillas desde un mismo punto, generan una caja cuyo volumen es |det A|. Mientras det A ≠ 0 la caja tiene volumen y el rango es 3. En λ = 1 y en λ = 3 el determinante se anula, la caja se aplasta y las tres filas caben en un plano: el rango baja. No baja de 2, porque f₂ y f₃ nunca son paralelas: el menor de las filas 2 y 3 con las columnas 1 y 2 vale −1, que no es cero. Por eso rg A = 2 si λ = 1 o λ = 3, y rg A = 3 para cualquier otro valor de λ. det 𝐴 = λ² − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3)0110 = −1 ≠ 0 ⇒ rg 𝐴 ≥ 2 si det A = 0, busca un menor de orden 2 distinto de cero En λ = 1, f₁ = f₃ − f₂; en λ = 3, f₁ = f₂ + f₃. En general, f₁ − (λ − 2)·f₂ − f₃ = (0, 0, −det A), así que f₁ cae en el plano de f₂ y f₃ justo cuando det A = 0. La figura usa filas y no columnas porque en λ = 1 dos columnas son iguales (c₃ = c₁) y dos varillas no pueden ocupar el mismo sitio; el rango es el mismo. PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · convocatoria ordinaria · pregunta 1