PAU Madrid 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 4.1: intervalo de confianza para la media y tamaño de la muestra

Tema · Inferencia estadística
Opcional · 4.1 o 4.2
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)x̄ = 118,5 horas y n = 625 jugadores: x̄ es el centro del intervalo; el error, E = 1,736, y el valor crítico z_(α/2) = 2,17 dan √n = 25.
b)n = 101 jugadores: con el valor crítico z_(α/2) = 2,51, el error 50,2/√n ≤ 5 exige n ≥ 100,8016.

Pregunta 4.1

PAU Madrid modelo 2027Estadística2,5 puntos

El número de horas que tarda un jugador en completar todas las fases de un determinado videojuego se comporta según una distribución normal cuya desviación típica es 20 horas.

a)Con un nivel de confianza del 97 % se ha obtenido el intervalo de confianza (116,764; 120,236) para el tiempo medio en superar el juego para una determinada muestra. Determine el tiempo medio empleado por los jugadores de la muestra en completar el videojuego y el tamaño de la muestra utilizada. (1 p)
b)Obtenga el tamaño mínimo de una muestra para que el error del intervalo de confianza sea como mucho 5 horas asumiendo un nivel de confianza del 98,8 %. (1,5 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (uam.es)

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,2
02a) Determinación correcta del tiempo medio empleado0,3
03a) Determinación correcta del error0,2
04a) Cálculo correcto del tamaño de la muestra0,3
05b) Determinación del valor crítico z_(α/2)0,5
06b) Determinación correcta del error0,5
07b) Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué dicen los extremos del intervalo?

El intervalo es x̄ ± E: su centro es la media muestral y su semiamplitud, el error.

Pista 2 · ¿Cómo sale el tamaño y cómo se redondea?

Con E = z_(α/2)·σ/√n despejas n; en b), el tamaño mínimo se redondea siempre hacia arriba.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca el valor crítico para el 97 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,2
Con un nivel de confianza 1 − α = 0,97, α = 0,03 y α/2 = 0,015. El valor crítico deja 0,015 en cada cola, así que buscas z con P(Z ≤ z) = 1 − 0,015 = 0,985. En la tabla, Φ(2,17) = 0,9850, de modo que z_(α/2) = 2,17.
$1 - α = 0,97 \Rightarrow \frac{α}{2} = 0,015 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,985 \Rightarrow z_{α / 2} = 2,17$
Tribunal
Determinación del valor crítico z_(α/2): 0,2 puntos.
0,2de 2,5
02a · Halla la media muestral en el centro del intervaloTribunal: determinación correcta del tiempo medio empleado0,3
El intervalo de confianza para la media es (x̄ − E; x̄ + E): está centrado en la media muestral. Por eso x̄ es el punto medio de los extremos: x̄ = (116,764 + 120,236)/2 = 237/2 = 118,5 horas. Es el tiempo medio que han tardado los jugadores de la muestra en completar el videojuego.
$\overline{x} = \frac{116,764 + 120,236}{2} = \frac{237}{2} = 118,5$
Tribunal
Determinación correcta del tiempo medio empleado: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
03a · Calcula el error como semiamplitudTribunal: determinación correcta del error0,2
El error es la distancia del centro a cualquiera de los extremos, es decir, la mitad de la amplitud: E = (120,236 − 116,764)/2 = 3,472/2 = 1,736 horas. Compruébalo con el otro extremo: 118,5 − 116,764 = 1,736.
$E = \frac{120,236 - 116,764}{2} = \frac{3,472}{2} = 1,736$
Tribunal
Determinación correcta del error: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
04a · Despeja el tamaño de la muestraTribunal: cálculo correcto del tamaño de la muestra0,3
El error de este intervalo es E = z_(α/2)·σ/√n, con σ = 20 horas. Despeja √n: √n = z_(α/2)·σ/E = 2,17·20/1,736 = 43,4/1,736 = 25, luego n = 25² = 625 jugadores. Sale un número entero exacto, como corresponde a una muestra que ya se ha tomado: aquí no hay nada que redondear.
$E = z_{α / 2} \frac{σ}{\sqrt{n}} \Rightarrow \sqrt{n} = \frac{z_{α / 2} σ}{E} = \frac{2,17 \cdot 20}{1,736} = 25 \Rightarrow n = 625$
Tribunal
Cálculo correcto del tamaño de la muestra: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
05b · Busca el valor crítico para el 98,8 %Tribunal: determinación del valor crítico z_(α/2)0,5
Ahora 1 − α = 0,988: α = 0,012 y α/2 = 0,006. Buscas z con P(Z ≤ z) = 1 − 0,006 = 0,994, y en la tabla Φ(2,51) = 0,9940, así que z_(α/2) = 2,51.
$1 - α = 0,988 \Rightarrow \frac{α}{2} = 0,006 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,994 \Rightarrow z_{α / 2} = 2,51$
Tribunal
Determinación del valor crítico z_(α/2): 0,5 puntos.
0,5de 2,5
06b · Expresa el error y exige que no pase de 5 horasTribunal: determinación correcta del error0,5
Con σ = 20 y el nuevo valor crítico, el error en función del tamaño es E = 2,51·20/√n = 50,2/√n. El enunciado pide que sea como mucho 5 horas: 50,2/√n ≤ 5, es decir, √n ≥ 50,2/5 = 10,04.
$E = 2,51 \cdot \frac{20}{\sqrt{n}} \leq 5 ⟹ \sqrt{n} \geq \frac{2,51 \cdot 20}{5} = 10,04$
Tribunal
Determinación correcta del error: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
07b · Despeja n y redondea hacia arribaTribunal: cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra0,5
Elevando al cuadrado, n ≥ 10,04² = 100,8016. Como n es entero y tiene que cumplir la desigualdad, el tamaño mínimo es n = 101 jugadores: se redondea hacia arriba aunque la parte decimal sea pequeña. Comprobación: con n = 100 el error sería 2,51·20/10 = 5,02, mayor que 5; con n = 101 es 50,2/√101 ≈ 4,995.
$n \geq {10,04}^{2} = 100,8016 ⟹ n_{\min} = 101$
Tribunal
Cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Redondear el tamaño mínimo hacia abajo

Lo que se suele escribir: ~~n ≥ 100,8016 ⇒ n = 100~~. Lo correcto: n ≥ 100,8016 ⇒ n = 101

Redondear 100,8016 a 100: el tamaño mínimo se redondea siempre hacia arriba, o el error superaría las 5 horas (con n = 100 sería 5,02). En a), el error es la semiamplitud del intervalo, no su amplitud completa (3,472): con 3,472 saldría un tamaño cuatro veces menor.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto del tamaño mínimo de la muestra»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en las páginas 2 y 3 y los criterios de corrección en la página 9.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.