PAU Madrid 2027 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 4.2: intervalo para una proporción y aproximación normal de la binomial

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a)El intervalo es (0,7639; 0,9361): proporción muestral 0,85, valor crítico z_(α/2) = 2,41 y error E ≈ 0,0861.
b)P(X ≤ 352) ≈ 0,1056, con X los que terminan, B(400; 0,9): se aproxima por N(360; 6) y, con la corrección por continuidad, queda P(Z ≤ −1,25), con Z la normal tipificada.

Pregunta 4.2

PAU Madrid modelo 2027Estadística2,5 puntos

El 90 % de los atletas que se inscriben en una maratón completan la totalidad de sus 42,195 km.

a)En la última maratón celebrada en Madrid, se tomó una muestra de 100 atletas de los cuales, 85 terminaron la maratón. Obtenga un intervalo de confianza al 98,4 % de confianza para la proporción de atletas que terminan la carrera. (1 p)
b)Se sabe que en la próxima maratón de la temporada hay 400 atletas inscritos. Obtenga la probabilidad de que terminen la carrera a lo sumo 352 atletas. (1,5 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Solución verificada con sus criterios.

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Determinación del valor z_(α/2)0,4
02a) Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,4
03a) Determinación correcta del intervalo de confianza0,2
04b) Definición de la variable y determinación de su distribución0,3
05b) Aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,3
06b) Aplicación correcta de la corrección por continuidad0,4
07b) Cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5

Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué proporción usar en el intervalo?

En a), trabaja con la proporción de la muestra, p̂ = 0,85, y no con el 90 %.

Pista 2 · ¿Qué distribución sigue el número de atletas?

En b), el número de atletas que terminan sigue una binomial; como np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5, aproxímala por una normal y aplica la corrección por continuidad.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Busca el valor crítico para el 98,4 %Tribunal: determinación del valor z_(α/2)0,4
Con 1 − α = 0,984, α = 0,016 y α/2 = 0,008. Buscas z con P(Z ≤ z) = 1 − 0,008 = 0,992, y en la tabla Φ(2,41) = 0,9920, así que z_(α/2) = 2,41.
$1 - α = 0,984 \Rightarrow \frac{α}{2} = 0,008 \Rightarrow P (Z \leq z_{α / 2}) = 0,992 \Rightarrow z_{α / 2} = 2,41$
Tribunal
Determinación del valor z_(α/2): 0,4 puntos.
0,4de 2,5
02a · Aplica la fórmula del error con la proporción muestralTribunal: aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo0,4
El intervalo se construye con la proporción de la muestra, p̂ = 85/100 = 0,85, y n = 100; el 90 % del enunciado no interviene en este apartado. El error es E = z_(α/2)·√(p̂(1 − p̂)/n) = 2,41·√(0,85·0,15/100) = 2,41·√0,001275 ≈ 2,41·0,0357 ≈ 0,0861.
$E = z_{α / 2} \sqrt{\frac{\hat{p} (1 - \hat{p})}{n}} = 2,41 \sqrt{\frac{0,85 \cdot 0,15}{100}} \approx 2,41 \cdot 0,0357 \approx 0,0861$
Tribunal
Aplicación de la fórmula del error y obtención del mismo: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
03a · Escribe el intervalo de confianzaTribunal: determinación correcta del intervalo de confianza0,2
El intervalo es (p̂ − E; p̂ + E) = (0,85 − 0,0861; 0,85 + 0,0861) = (0,7639; 0,9361). Con un 98,4 % de confianza, la proporción de atletas que terminan la carrera está entre el 76,39 % y el 93,61 %.
$(\hat{p} - E; \hat{p} + E) = (0,85 - 0,0861; 0,85 + 0,0861) = (0,7639; 0,9361)$
Tribunal
Determinación correcta del intervalo de confianza: 0,2 puntos.
0,2de 2,5
04b · Define la variable y su distribuciónTribunal: definición de la variable y determinación de su distribución0,3
X = «número de atletas, de los 400 inscritos, que terminan la carrera». Cada atleta termina o no termina, con probabilidad de terminar p = 0,9, y se supone que lo que haga uno no influye en los demás: X sigue una binomial, X ~ B(n = 400; p = 0,9).
Tribunal
Definición de la variable y determinación de su distribución: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
05b · Justifica la aproximación por una normalTribunal: aproximación correcta y justificada a la distribución normal0,3
La aproximación está justificada porque se cumplen np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5: np = 400·0,9 = 360 y n(1 − p) = 400·0,1 = 40. La normal tiene la misma media y la misma desviación típica que la binomial: μ = np = 360 y σ = √(np(1 − p)) = √36 = 6. Por tanto, X se aproxima por Y ~ N(360; 6).
$μ = n p = 360, σ = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{400 \cdot 0,9 \cdot 0,1} = \sqrt{36} = 6$
Tribunal
Aproximación correcta y justificada a la distribución normal: 0,3 puntos.
0,3de 2,5
06b · Aplica la corrección por continuidadTribunal: aplicación correcta de la corrección por continuidad0,4
X es discreta y la normal es continua: cada valor entero k de X se corresponde con el tramo de k − 0,5 a k + 0,5. «A lo sumo 352» incluye el 352, así que se toma hasta 352,5: P(X ≤ 352) ≈ P(Y ≤ 352,5), con Y ~ N(360; 6).
$P (X \leq 352) \approx P (Y \leq 352,5)$
Tribunal
Aplicación correcta de la corrección por continuidad: 0,4 puntos.
0,4de 2,5
07b · Tipifica y calcula la probabilidadTribunal: cálculo correcto de la probabilidad pedida0,5
Tipifica con Z = (Y − 360)/6: P(Y ≤ 352,5) = P(Z ≤ (352,5 − 360)/6) = P(Z ≤ −1,25). Por la simetría de la normal, P(Z ≤ −1,25) = 1 − P(Z ≤ 1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056. Como referencia, la binomial exacta da 0,1076: la aproximación es buena.
$P (Y \leq 352,5) = P (Z \leq \frac{352,5 - 360}{6}) = P (Z \leq - 1,25) = 1 - 0,8944 = 0,1056$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad pedida: 0,5 puntos.
0,5de 2,5

Error típico

Olvidar la corrección por continuidad

Lo que se suele escribir: ~~P(X ≤ 352) ≈ P(Z ≤ (352 − 360)/6)~~. Lo correcto: P(X ≤ 352) ≈ P(Z ≤ (352,5 − 360)/6)

Olvidar la corrección por continuidad: sin ella sale P(Z ≤ −1,33) ≈ 0,0918 con la tabla y se pierden los 0,4 puntos de ese criterio. Tampoco uses 351,5 en lugar de 352,5: «a lo sumo 352» incluye el 352, así que se suma 0,5. En a), el error se calcula con la proporción muestral 0,85, no con p = 0,9.

Cuesta los puntos de «aplicación correcta de la corrección por continuidad»: 0,4 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en las páginas 2 y 3 y los criterios de corrección en la página 9.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.