Concepto · Probabilidad · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Distribución normal: tipificación, tabla y búsqueda inversa
En breve
La distribución normal N(μ; σ) es la de una variable continua con forma de campana, simétrica respecto de su media μ y con desviación típica σ. Sus probabilidades se calculan tipificando, Z = (X − μ)/σ, y leyendo en la tabla de la N(0; 1) el área P(Z ≤ z).
Dicho con precisión
Una variable continua X sigue una normal N(μ; σ), de media μ y desviación típica σ > 0, si su densidad es f(x) = e^(−(x − μ)²/(2σ²))/(σ√(2π)). Su gráfica es una campana simétrica respecto de x = μ y las probabilidades son áreas bajo ella, así que P(X = a) = 0. La variable tipificada Z = (X − μ)/σ sigue una N(0; 1), cuya función de distribución P(Z ≤ z) da la tabla.
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 4.1 de la ordinaria de Madrid 2026: la duración de unas baterías sigue una normal y la proporción de defectuosas es el área de la cola izquierda de la campana. Al mover el umbral o cambiar σ, esa área cambia, y con ella la binomial del lote.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
La duración X del trayecto de un autobús, en minutos, sigue una distribución normal N(40; 4). Calcula P(X ≤ 46), P(34 ≤ X ≤ 46) y el tiempo t que solo supera el 2,5 % de los trayectos.
Identifica μ y σ y tipifica
En N(40; 4), la media es μ = 40 minutos y el segundo número es la desviación típica, σ = 4, no la varianza. Para usar la tabla, resta la media y divide entre σ: Z = (X − 40)/4 sigue una N(0; 1). El valor 46 se transforma en (46 − 40)/4 = 1,5, de modo que P(X ≤ 46) = P(Z ≤ 1,5).
Lee la tabla de la N(0; 1)
La tabla da P(Z ≤ z) para z ≥ 0: la fila es la unidad y la primera cifra decimal de z, y la columna, la segunda cifra decimal. En la fila 1,5 y la columna 0,00 se lee P(Z ≤ 1,5) = 0,9332. Como X es continua, P(X = 46) = 0, y P(X < 46) vale lo mismo que P(X ≤ 46): incluir o no el extremo no cambia nada.
Usa la simetría para los valores negativos
El 34 se tipifica como (34 − 40)/4 = −1,5, y la tabla no trae valores negativos. Por la simetría de la campana, la cola izquierda de −1,5 mide lo mismo que la cola derecha de 1,5: P(Z ≤ −1,5) = 1 − P(Z ≤ 1,5) = 1 − 0,9332 = 0,0668. La probabilidad de un intervalo es la resta de las dos acumuladas: P(34 ≤ X ≤ 46) = 0,9332 − 0,0668 = 0,8664.
Busca en la tabla al revés para hallar t
Ahora la probabilidad es el dato y el valor es la incógnita. Que solo el 2,5 % de los trayectos supere t significa P(X > t) = 0,025, es decir, P(X ≤ t) = 0,975. Busca 0,9750 dentro de la tabla: está en la fila 1,9 y la columna 0,06, así que, con la precisión de la tabla, z = 1,96. Deshaz la tipificación, t = μ + z·σ: t = 40 + 1,96·4 = 47,84 minutos, redondeado como la tabla.
Comprueba que cada resultado tiene sentido
46 está por encima de la media, así que P(X ≤ 46) tiene que superar 0,5, y 0,9332 lo hace. El intervalo de 34 a 46 es simétrico alrededor de 40, por eso sus dos colas miden lo mismo. Y t queda por encima de la media, porque deja a su derecha solo el 2,5 %: si te sale por debajo de 40, has tomado el signo de z al revés.
Errores típicos
Tipificar con la varianza en lugar de la desviación típica
En N(40; 4) se divide entre σ = 4, no entre la varianza, σ² = 16. Con 16 saldría (46 − 40)/16 = 0,375, y la probabilidad saldría mal. Si el enunciado da la varianza, saca su raíz cuadrada antes de tipificar.
Leer la tabla con un valor negativo
La tabla habitual empieza en z = 0. P(Z ≤ −1,5) no es 0,9332 ni −0,9332: es la cola izquierda, 1 − 0,9332. Una probabilidad nunca es negativa, y si z < 0 la acumulada es menor que 0,5. Aplica la simetría y escribe la igualdad que usas.
Olvidar restar de 1 en una probabilidad «mayor que»
La tabla da áreas a la izquierda, P(Z ≤ z). Para «más de», «al menos» o «supera» hay que pasar al complementario: P(Z > z) = 1 − P(Z ≤ z). Antes de abrir la tabla, dibuja la campana y sombrea el área que pide el enunciado.
Buscar la probabilidad equivocada en la búsqueda inversa
Si el enunciado da el área de la derecha, como el 2,5 % que supera t, pásala primero a acumulada: 1 − 0,025 = 0,975. Buscar 0,025 dentro de la tabla no tiene sentido, porque todos sus valores valen 0,5 o más. Y fíjate en el signo de z: un valor que solo superan pocos casos está por encima de la media.
Ejercicios reales de la PAU
14 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.12 puntosEl proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media μ = 24 horas y desviación típica σ = 3 horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 21 horas.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosUna cadena de gimnasios quiere estudiar el perfil de sus clientes. Se asume que la edad de sus clientes sigue una distribución normal con media μ = 35 años y desviación típica σ = 12 años.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosEl peso de los paquetes de pipas de girasol que produce una determinada empresa sigue una distribución normal con media μ = 250 gramos y desviación típica σ = 8 gramos.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.22 puntosEn los barrios de Tokio se considera el reciclaje y la clasificación de la basura una obligación ciudadana. Si no se clasifican los residuos de forma correcta para que sean retirados por la empresa de recogida de basuras, estos no son recogidos y el barrio puede ser penalizado por el ayuntamiento. En el barrio de Ueno, el 82,5 % de los hogares realizan esta tarea de forma adecuada.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosLa plataforma de comercio electrónico especializada en productos cosméticos que ha investigado Susana sabe que el gasto anual de sus clientes se puede aproximar por una distribución normal de media μ euros y desviación típica σ = 25 euros.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 3.22,5 puntosPara poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. El peso de las pastillas de jabón de este artesano se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ gramos y desviación típica 30 gramos.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosEn cierta provincia española se sabe que la altura de las estudiantes de segundo de Bachillerato se puede aproximar por una distribución normal de media μ centímetros y desviación típica σ = 10 centímetros.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 12,5 puntosLa empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión para 2025 de su smartphone insignia, el P25. En la red social Rettiwt se ha generado una alta expectación y los primeros compradores del P25 han comenzado a publicar fotos con sus dispositivos y sus opiniones. La mayoría de estas opiniones son positivas, pero hay una minoría de usuarios que reporta un calentamiento excesivo del P25 que genera en pantalla el mensaje de aviso «El P25 necesita enfriarse para poder usarlo». Con el objetivo de recabar más información para su próximo vídeo, el youtuber @solo_reviews ha abierto un hilo para solicitar a los compradores verificados del P25 que reporten si han experimentado o no sobrecalentamiento repentino en sus smartphones, entendiendo este como el que origina el aviso en condiciones normales de uso. Un total de 288 compradores verificados responden en el hilo, de los cuales 20 reportan haber visto el mensaje de enfriamiento necesario en condiciones de uso normales. Dado el perfil de los seguidores de @solo_reviews, se asume que esta es una muestra aleatoria simple. Ante el ruido generado en las redes sociales, la empresa Pear lanza el siguiente comunicado en Rettiwt: «En Pear aclaramos: no hay problemas generalizados en nuestro nuevo P25. El sobrecalentamiento afecta al 2 % de dispositivos al estar exclusivamente limitado a un lote defectuoso de un proveedor. Estamos contactando a los clientes afectados para ofrecer una solución inmediata. #PearSupport #P25»
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosEn base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media 75,67 y desviación típica 11,05. Se pide:
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosUna organización no gubernamental (ONG) quiere saber qué cantidad de dinero dedican las familias a actividades de interés social y en qué tipo de actividades están interesadas. Para ello se selecciona un municipio al azar. Se sabe que el 70 % de las familias del municipio destina una parte de su presupuesto a actividades de interés social. Si se seleccionan 200 familias al azar:
- Madrid 2027 · Modelo · 4.22,5 puntosEl 90 % de los atletas que se inscriben en una maratón completan la totalidad de sus 42,195 km.
- Madrid 2026 · Modelo · 32 puntosUna envasadora de aceitunas comercializa bolsas con 12 aceitunas. La cosecha de este año ha sido atacada por el hongo Sphaeropsis dalmatica y una de cada veinte aceitunas presenta la enfermedad escudete. Se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 3.12,5 puntosUna comunidad autónoma española quiere evaluar el nivel de compromiso con el reciclaje de sus ciudadanos y ciudadanas. Para ello, se realiza un estudio en dos municipios seleccionados al azar. En el primer municipio, la proporción de personas comprometidas con el reciclaje es de p = 0,7. Se toma una muestra aleatoria simple de 600 personas de dicho municipio.
- Madrid 2025 · Modelo · 42,5 puntosSegún los datos de la Comunidad de Madrid, en la temporada 2021-2022 la cobertura de la vacuna de la gripe entre mayores de 65 años fue de un 73,2 %.
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Preguntas frecuentes
¿En N(μ; σ) el segundo número es la desviación típica o la varianza?
En la notación N(μ; σ), el segundo número es la desviación típica σ. Algunos libros escriben N(μ; σ²), con la varianza; si dudas, mira si el enunciado dice «desviación típica» o «varianza». Para tipificar siempre se divide entre σ.
¿Por qué P(X = a) vale 0 en una normal?
Porque X es continua y sus probabilidades son áreas bajo la curva: el área sobre un solo punto tiene anchura cero. Por eso P(X ≤ a) y P(X < a) son iguales, y no hace falta distinguir «menos de» y «como mucho». En una binomial, que es discreta, sí cambia.
¿Qué hago si la probabilidad no aparece exacta en la tabla?
Toma el valor de z cuya probabilidad está más cerca o, si está justo entre dos, el punto medio. Para 0,95, la tabla trae P(Z ≤ 1,64) = 0,9495 y P(Z ≤ 1,65) = 0,9505, a la misma distancia, y se toma z ≈ 1,645. Indica el valor que eliges y con qué probabilidad de la tabla.
¿Cuándo se puede aproximar una binomial por una normal?
Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1; el criterio habitual es que se cumplan np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5. Se usa la normal con la misma media, np, y la misma desviación típica, √(np(1 − p)), y se aplica la corrección por continuidad: cada valor entero k pasa a ser el tramo de k − 0,5 a k + 0,5.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 14 ejercicios resueltos de esta página: la 4.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 3.2 de la ordinaria de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.