Concepto · Análisis · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Tipos de discontinuidad: evitable, de salto finito, de salto infinito y esencial
En breve
Hay cuatro tipos de discontinuidad: evitable, si los límites laterales son finitos e iguales pero f(a) no existe o vale otra cosa; de salto finito, si son finitos y distintos; de salto infinito (asintótica), si alguno es +∞ o −∞; y esencial, si ninguno es infinito y alguno no existe.
Dicho con precisión
Una función f tiene una discontinuidad en x = a si no es continua en a. Si f está definida a ambos lados de a, cerca de a, se clasifica con f(a) y los límites laterales L⁻ y L⁺: evitable si L⁻ = L⁺ es finito y f(a) no existe o es distinto; de salto finito si L⁻ y L⁺ son finitos y distintos, con salto |L⁺ − L⁻|; de salto infinito (asintótica) si alguno es +∞ o −∞; esencial si ninguno es infinito y alguno no existe.
Míralo en movimiento
Cuatro placas, una por tipo: cada ranura es la gráfica de f cerca de x = a, y dos bolas marcan f(a − h) y f(a + h). Al acercarlas a la junta, mira si las dos alturas tienden al mismo valor, a valores distintos, crecen sin límite u oscilan, y dónde está el pasador de f(a).
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Sea f(x) = eˣ + 2 si x < 0 y f(x) = (x² − 2x)/(x² − 3x + 2) si x ≥ 0. Estudia la continuidad de f y clasifica sus discontinuidades. Si alguna es evitable, di qué valor hay que dar a f en ese punto para que sea continua.
Halla el dominio y los puntos sospechosos
Empieza por el dominio: en un punto donde f no está definida, no puede ser continua. El tramo eˣ + 2 es continuo en todo ℝ. El cociente es continuo salvo donde se anula su denominador, y x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2) se anula en x = 1 y x = 2, los dos dentro del tramo x ≥ 0. Así que el dominio es ℝ∖{1, 2} y hay tres puntos que estudiar: x = 0, donde cambia la expresión, y x = 1 y x = 2; fuera de ellos, f es continua porque lo es cada tramo. Antes de calcular límites, simplifica: como x² − 2x = x(x − 2), para x ≥ 0 con x ≠ 1 y x ≠ 2 queda f(x) = x/(x − 1).
Estudia x = 0: primero f(0), después los dos laterales
El punto x = 0 cumple x ≥ 0, así que f(0) se calcula con el cociente: f(0) = 0/2 = 0. Por la izquierda se usa eˣ + 2, y el límite cuando x → 0⁻ es e⁰ + 2 = 3. Por la derecha se usa el cociente, y el límite cuando x → 0⁺ es 0. Los dos laterales son finitos y distintos, así que no existe el límite en x = 0: es una discontinuidad de salto finito. El salto es la distancia entre los dos laterales: |0 − 3| = 3 unidades.
Estudia x = 1: el denominador se anula y el numerador no
En x = 1, f no está definida, porque ese punto anula el denominador. Cerca de x = 1 los dos lados usan el cociente, en su forma x/(x − 1): el numerador tiende a 1, que no es 0, y el denominador tiende a 0. Por la izquierda x − 1 es negativo, y el límite cuando x → 1⁻ es −∞; por la derecha es positivo, y el límite cuando x → 1⁺ es +∞. Hay una discontinuidad de salto infinito (asintótica) en x = 1, y la recta x = 1 es una asíntota vertical de f.
Estudia x = 2: el factor común y la redefinición
Tampoco existe f(2), y al sustituir en el cociente original sale 0/0: numerador y denominador se anulan a la vez porque comparten el factor x − 2. Con la forma simplificada, el límite por los dos lados es 2/(2 − 1) = 2. Los laterales son finitos e iguales y solo falta el valor, así que la discontinuidad es evitable. Se evita redefiniendo f(2) = 2: con ese valor, el límite en x = 2 coincide con f(2) y f pasa a ser continua en ese punto.
Redacta la conclusión punto por punto
Cierra con una frase por punto que diga el tipo y su razón. Así: la función f es continua en ℝ∖{0, 1, 2}. En x = 0 tiene una discontinuidad de salto finito, de 3 unidades, porque los laterales son finitos y distintos. En x = 1, de salto infinito (asintótica), porque los laterales son −∞ y +∞; la recta x = 1 es asíntota vertical. En x = 2, evitable, porque el límite existe y es finito pero f(2) no existe; se evita con f(2) = 2. Las de x = 0 y x = 1 no se arreglan cambiando un solo valor.
Errores típicos
Clasificar por el valor de f(a) y no por los límites
Que f(a) no exista no dice de qué tipo es la discontinuidad: lo deciden los límites laterales. En el ejemplo, x = 1 y x = 2 están los dos fuera del dominio, pero x = 1 es de salto infinito (asintótica) y x = 2, evitable. Escribe f(a), calcula los dos laterales y solo entonces pon el nombre.
Ver una asíntota vertical en cada cero del denominador
Un cero del denominador da asíntota vertical solo si algún límite lateral es infinito. Si el numerador también se anula, sale 0/0: factoriza, simplifica y calcula el límite. En el ejemplo, x = 2 anula los dos y el límite es finito, así que en x = 2 no hay asíntota, sino una discontinuidad evitable.
Calcular un solo límite en el punto de cambio
En x = 0 cada lado usa una expresión distinta: el límite por la izquierda sale de eˣ + 2 y el de la derecha, del cociente. Si calculas solo con el cociente, sale 0 por los dos lados y el salto desaparece. En un cero del denominador también hay que mirar los dos lados, porque el signo puede cambiar: en x = 1, x − 1 pasa de negativo a positivo y el límite pasa de −∞ a +∞.
Practica lo que exige: continuidad
En los exámenes que tenemos resueltos todavía no aparece. Sí aparece su requisito: 13 ejercicios resueltos con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 2.22,5 puntosSea la función real de variable real definida por f(x) = (x + 2)/(x − 2)² si x < 0; f(x) = (x² + x³)/(x² + 1) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.22 puntosSea f(x) = 3x² − sen(ax) + b si x < 0, y f(x) = 2eˣ / (1 + x²) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosConsideremos la función f(x) = e²ˣ⁺³ si x ≤ 1; f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3) si x > 1.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosConsidere la función real de variable real: f(x) = e⁻³ˣ⁺² si x < 0; f(x) = (x² − 4x + 2)/(x + 1) si x ≥ 0.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x² + 1)/(x − 1) si x ≤ 0; f(x) = (x + a)/(x + 1) si x > 0, con a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = (x² − x − a)/2, a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = x/(2x − 1) si x < 0; f(x) = (4x³ + x²)/(x² − 9) si x ≥ 0.
- Madrid 2027 · Modelo · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = e³ˣ − x + a si x < 0; f(x) = −x³ + 2x² si x ≥ 0.
- Madrid 2027 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- Madrid 2026 · Modelo · 3.12,5 puntosDada la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)/(3 − x) si x < 1; f(x) = (2 − x)/(3 + x) si x ≥ 1.
- Madrid 2026 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = (1/2)(−8 + cos x) si 0 ≤ x < π/2; f(x) = a sen(x) + 4 si π/2 ≤ x < π; f(x) = 2 sen(2x) + b si π ≤ x ≤ 2π.
- Madrid 2026 · Modelo · 5.22 puntosSe considera la función f(x) = ln(x² + 1)/x si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.
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Preguntas frecuentes
¿Qué es una discontinuidad esencial?
Es la que tiene algún límite lateral que no existe, sin que ninguno sea infinito: ocurre cuando la función oscila sin acercarse a ningún número. El ejemplo clásico es sen(1/x) en x = 0: cuando x → 0⁺, 1/x crece sin cota y el seno pasa una y otra vez por todos los valores entre −1 y 1, así que no tiene límite. Cuando x → 0⁻ pasa lo mismo, con 1/x hacia −∞. Si un lado oscila y el otro se va a +∞ o −∞, la discontinuidad se clasifica como de salto infinito (asintótica), porque hay asíntota vertical.
¿Qué diferencia hay entre una discontinuidad evitable y una inevitable?
La evitable se arregla cambiando un solo valor: el límite existe y es finito, y basta con definir f(a) igual a ese límite. Las otras tres no tienen ese arreglo, porque en a no hay un límite finito: en el salto finito cada lado llega a una altura distinta, en el salto infinito la función se va a +∞ o −∞ por algún lado y en la esencial no se acerca a ningún número. Por eso muchos libros llaman «inevitables» a las de salto finito, de salto infinito (asintótica) y esenciales.
¿Puede ser evitable una discontinuidad si f(a) existe?
Sí, si el límite existe y es finito pero f(a) vale otra cosa. Por ejemplo, g(x) = 2x + 1 si x ≠ 1 y g(1) = 0: el límite en x = 1 es 3, distinto de g(1). La gráfica es una recta con un punto desplazado, y se arregla igual que cuando falta el valor: cambiando g(1) por 3.
¿Qué relación hay con las asíntotas verticales?
La recta x = a es una asíntota vertical de f cuando algún límite lateral en a es +∞ o −∞, que es justo la condición de la discontinuidad de salto infinito; por eso también se llama asintótica. En cambio, no basta con que a quede fuera del dominio: en el ejemplo, x = 2 anula el denominador y no es asíntota, porque el límite es finito. Para hallar las asíntotas verticales, calcula los laterales en cada punto sospechoso.
¿Cómo se redacta la clasificación en el examen?
Para cada punto sospechoso, escribe en este orden si existe f(a) y cuánto vale, los dos límites laterales con el tramo que usa cada uno y el tipo con su razón, por ejemplo: «los laterales son finitos y distintos, luego hay una discontinuidad de salto finito». Si es evitable, añade con qué valor de f(a) se evita, y termina con una frase que diga dónde es continua la función.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
En los exámenes que tenemos resueltos todavía no aparece. Sí aparece lo que exige, continuidad: la 2.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 5.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.1 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 2.1 de la ordinaria de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 2.1 de la ordinaria · incidencias de 2025 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.