PAU Madrid 2026 · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · Extraordinaria
Pregunta 4.1: función a trozos con exponencial: dominio, continuidad en x = 0 y monotonía
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- a)Dom f = ℝ: x + 1 > 0 si x ≥ 0.
- b)f no es continua en x = 0 (salto finito): lím x→0⁻ f(x) = e² ≈ 7,39 y lím x→0⁺ f(x) = 2 = f(0).
- c)crece en (√7 − 1, +∞) y decrece en (−∞, 0) ∪ (0, √7 − 1), por el signo de f′: mínimo en x = √7 − 1 ≈ 1,65, con f(√7 − 1) = 2√7 − 6 ≈ −0,71, y no tiene máximos.
Pregunta 4.1
Considere la función real de variable real: f(x) = e⁻³ˣ⁺² si x < 0; f(x) = (x² − 4x + 2)/(x + 1) si x ≥ 0.
- a)Determine razonadamente el dominio de la función. (0,5 p)
- b)Estudie la continuidad de la función en x = 0. (1 p)
- c)Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función? (1 p)
Con el examen se entrega: Áreas bajo la distribución de probabilidad normal estándar.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto y justificado del dominio0,5
- 02b) Aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,8
- 03b) Determinación de la no continuidad en x = 00,2
- 04c) Cálculo correcto de la derivada0,5
- 05c) Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,3
- 06c) Determinación del mínimo0,2
Criterio general: La calificación debe hacerse en múltiplos de 0,1 puntos.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde se usa cada fórmula?
Para el dominio y para la derivada, trabaja cada expresión solo en su tramo: un denominador que se anula fuera del tramo no quita ningún punto.
Pista 2 · ¿Qué hay que comparar en x = 0?
Para la continuidad, compara f(0) con los dos límites laterales; para la monotonía, estudia el signo de la derivada a cada lado del punto donde cambia la fórmula.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica el dominio tramo a tramoTribunal: cálculo correcto y justificado del dominio0,5
Mira cada expresión solo donde se usa. Para x < 0, e⁻³ˣ⁺² es una exponencial y existe para todo número real. Para x ≥ 0, el cociente solo falla si x + 1 = 0, es decir, en x = −1, que no pertenece al tramo x ≥ 0. Ningún punto se queda fuera: Dom f = ℝ.
02b · Calcula f(0) y los dos límites lateralesTribunal: aplicación correcta de la definición de continuidad en x = 00,8
f es continua en x = 0 si existe f(0), existen los límites laterales y los tres valores coinciden. Como 0 entra en el tramo x ≥ 0, f(0) = 2/1 = 2. Por la izquierda manda la exponencial: lím x→0⁻ e⁻³ˣ⁺² = e² ≈ 7,39. Por la derecha manda el cociente: lím x→0⁺ (x² − 4x + 2)/(x + 1) = 2.
03b · Concluye que no es continua en x = 0Tribunal: determinación de la no continuidad en x = 00,2
Los límites laterales son finitos pero distintos (e² ≠ 2), así que no existe el límite en x = 0 y f no es continua ahí. Es una discontinuidad de salto finito, de altura e² − 2 ≈ 5,39. Que f(0) coincida con el límite por la derecha no basta: hacen falta los dos.
04c · Deriva cada tramo por separadoTribunal: cálculo correcto de la derivada0,5
Para x < 0, por la regla de la cadena, f′(x) = −3e⁻³ˣ⁺². Para x > 0, por la regla del cociente, el numerador es (2x − 4)(x + 1) − (x² − 4x + 2) = x² + 2x − 6, así que f′(x) = (x² + 2x − 6)/(x + 1)². En x = 0 no hay derivada, porque f no es continua en ese punto.
05c · Estudia el signo de f′ y da los intervalosTribunal: cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento0,3
Para x < 0, −3e⁻³ˣ⁺² es siempre negativa: f decrece en (−∞, 0). Para x > 0 el denominador (x + 1)² es positivo, así que el signo lo da x² + 2x − 6, que se anula en x = −1 ± √7; solo √7 − 1 ≈ 1,65 está en el tramo. Probando valores, f′(1) = −3/4 < 0 y f′(2) = 2/9 > 0: f decrece en (0, √7 − 1) y crece en (√7 − 1, +∞).
06c · Identifica el mínimo y descarta máximosTribunal: determinación del mínimo0,2
En x = √7 − 1 la función pasa de decrecer a crecer y es continua, así que hay un mínimo relativo, con f(√7 − 1) = 2√7 − 6 ≈ −0,71. No hay máximos: en x = 0 la función salta de valores próximos a e² a f(0) = 2 y luego sigue bajando, así que ahí no hay extremo.
Error típico
Olvidar la regla de la cadena en la exponencial
Lo que se suele escribir: f′(x) = e⁻³ˣ⁺². Lo correcto: f′(x) = −3e⁻³ˣ⁺²
Al derivar e⁻³ˣ⁺² se suele copiar la exponencial tal cual, olvidando la regla de la cadena. Esa derivada sería siempre positiva y te llevaría a decir que f crece en (−∞, 0), justo al revés. La derivada de e elevado a u es u′ multiplicado por e elevado a u, y aquí u′ = −3: f′(x) = −3e⁻³ˣ⁺², negativa en todo el tramo.
Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la derivada»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 8.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Extraordinaria · Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 19 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.