Concepto · Análisis · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Derivada y recta tangente: la pendiente como límite y la ecuación de la tangente
En breve
La derivada de f en x = a es la pendiente de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f(a)), y se define como el límite de las pendientes de las secantes, [f(a + h) − f(a)]/h, cuando h → 0. Con ella, la tangente se escribe y − f(a) = f′(a)(x − a).
Dicho con precisión
La derivada de f en x = a es el límite del cociente incremental [f(a + h) − f(a)]/h cuando h tiende a 0, si existe y es finito; entonces f es derivable en a. f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)), cuya ecuación es y − f(a) = f′(a)(x − a).
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 5.2 de la ordinaria de Madrid 2026: una regla pasa por dos puntos P y Q de la gráfica, así que es una secante. Al acercar Q a P con el mando, gira hacia la tangente, su posición límite, y el inclinómetro lee una pendiente que tiende a la derivada.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Sea f(x) = x³ − 3x. Halla la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa x = 2 y los puntos de la gráfica en los que la tangente es paralela a la recta y = 9x.
Entiende la derivada como límite de pendientes de secantes
El cociente [f(2 + h) − f(2)]/h es la pendiente de la secante que une los puntos de la gráfica de abscisas 2 y 2 + h. Desarrollando, f(2 + h) − f(2) = 9h + 6h² + h³, y al dividir entre h el cociente queda 9 + 6h + h². Cuando h → 0, la secante gira hasta la tangente y su pendiente tiende a 9: esa es f′(2). Este cálculo con el límite solo hace falta si te piden la definición; si no, se usan las reglas de derivación.
Halla el punto de tangencia
La tangente pasa por el punto de la gráfica de abscisa 2. Su ordenada se obtiene sustituyendo en f, no en f′: f(2) = 8 − 6 = 2. El punto de tangencia es (2, 2).
Calcula la pendiente con la función derivada
Con las reglas de derivación, f′(x) = 3x² − 3. La pendiente de la tangente en x = 2 es el número f′(2) = 12 − 3 = 9, el mismo valor que ha dado el límite del cociente incremental.
Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente
Sustituye el punto y la pendiente en y − f(a) = f′(a)(x − a): y − 2 = 9(x − 2), es decir, y = 9x − 16. Comprueba el resultado: para x = 2 la recta da 18 − 16 = 2, la ordenada del punto de tangencia.
Si te dan la pendiente, plantea f′(x) = m
Una tangente paralela a y = 9x tiene la misma pendiente, 9. Plantea f′(x) = 9: 3x² − 3 = 9, de donde x² = 4 y hay dos soluciones, x = 2 o x = −2. Se piden puntos de la gráfica, así que calcula también las ordenadas en f: f(2) = 2 y f(−2) = −8 + 6 = −2. Los puntos son (2, 2) y (−2, −2), y la tangente en el segundo es y + 2 = 9(x + 2), es decir, y = 9x + 16.
Errores típicos
Dejar la pendiente en función de x
La pendiente de la tangente es un número, f′(a), no la función f′(x). Escribir y − 2 = (3x² − 3)(x − 2) no da una recta, sino una curva de grado 3. Sustituye primero x = a en la derivada y solo después escribe la ecuación.
Calcular la ordenada con la derivada
El punto de tangencia es (a, f(a)), y la pendiente es f′(a): son dos sustituciones distintas. Si usas f′(2) = 9 como ordenada, la recta no pasa por el punto de tangencia. Comprueba siempre que tu recta da f(a) cuando x = a.
Quedarse con una sola solución de f′(x) = m
Al buscar tangentes con una pendiente dada, la ecuación f′(x) = m puede tener varias soluciones: x² = 4 da x = 2 y también x = −2. Resuelve la ecuación entera, comprueba que cada solución está en el dominio de f y da todos los puntos.
Ejercicios reales de la PAU
21 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 2.12,5 puntosConsidere la función real de variable real f(x) = x(1 − x²) + e^(−λx), donde λ es un parámetro real sin especificar.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 22 puntosSe quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m y 56 m. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta 30 €/m² y la parte no techada, 50 €/m² pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.22 puntosSea f(x) = 3x² − sen(ax) + b si x < 0, y f(x) = 2eˣ / (1 + x²) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosConsideremos la función f(x) = e²ˣ⁺³ si x ≤ 1; f(x) = (x² + 5x + 2)/(2x + 3) si x > 1.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 3.22,5 puntosDada la función g(x) = x³ + bx² − 9x + d (b y d son números reales).
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 22 puntosDada la función real de variable real f(x) = |x² − 6x + 5|, se pide:
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 5.12 puntosSea la función f(x) = x² + bx.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 5.22 puntosCalcule los siguientes límites:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosConsidere la función real de variable real: f(x) = e⁻³ˣ⁺² si x < 0; f(x) = (x² − 4x + 2)/(x + 1) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosConsidere la función real de variable real: f(x) = x³ + 3x² + ax + b.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 22 puntosUn diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 5.12 puntosSea la función f(x) = x/ln(x). Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x² + x)/(x − a) si x ≤ 3; f(x) = 2x² + 1 si x > 3.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real dada por la siguiente expresión: f(x) = eˣ(−x² + 3).
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = (x² − x − a)/2, a ∈ ℝ.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.22,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por f(x) = x³/(x − 1)².
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosPara la función f(x) = √(x² + 3x), se pide:
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosConsidere la función real de variable real f(x) = x(x² + a), donde a > 0 es un parámetro real.
- Madrid 2027 · Modelo · 2.12,5 puntosSe considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: f(x) = (x − 1)²/(x − 5).
- Madrid 2027 · Modelo · 5.22 puntosSea f(x) = (−2x + 1)/(x − 1).
- Madrid 2026 · Modelo · 5.22 puntosSe considera la función f(x) = ln(x² + 1)/x si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Se pide:
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Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre f′(a) y f′(x)?
f′(a) es un número: la pendiente de la tangente en el punto de abscisa a. f′(x) es la función derivada, que da esa pendiente en cada punto. En el ejemplo, f′(x) = 3x² − 3 es la función y f′(2) = 9 es la pendiente en x = 2.
¿Qué significa que la tangente sea horizontal?
Que su pendiente es 0, es decir, f′(a) = 0. En el ejemplo, 3x² − 3 = 0 da x = 1 y x = −1, y la tangente es horizontal en los puntos (1, −2) y (−1, 2). Son los candidatos a máximo o mínimo relativo, que después se confirman con el signo de f′ o con la segunda derivada.
¿Cómo se halla la recta normal?
La normal pasa por el mismo punto y es perpendicular a la tangente: si f′(a) ≠ 0, su pendiente es −1/f′(a), porque dos rectas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es −1. En el ejemplo, la normal en (2, 2) es y − 2 = −(1/9)(x − 2). Si f′(a) = 0, la tangente es horizontal y la normal es la recta vertical x = a.
¿Qué pasa si la función no es derivable en el punto?
Entonces no hay una tangente de pendiente f′(a). Puede tratarse de un pico, como el de |x| en x = 0, donde las derivadas laterales son distintas, o de una tangente vertical, como la de ∛x en x = 0, donde el cociente incremental tiende a +∞. Antes de escribir la tangente en el punto de cambio de una función a trozos, comprueba que es derivable allí.
¿Cuándo hay que usar la definición con el límite?
Cuando el enunciado pide expresamente la derivada por la definición. En el punto de cambio de una función a trozos, las derivadas laterales son, por definición, los límites del cociente incremental por cada lado. Si f es continua en ese punto, derivable a cada lado y los límites laterales de f′(x) existen y son finitos, las derivadas laterales valen esos límites, que es lo más cómodo. Es una condición suficiente: si el límite de f′ no existe, vuelve al cociente incremental. En el resto de los casos, las reglas de derivación dan el mismo resultado con menos cuentas.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 21 ejercicios resueltos de esta página: la 2.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 5.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 3.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.