PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 5.2: continuidad, derivabilidad y tangente de ln(x² + 1)/x
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- a)f es continua en todo ℝ: fuera de 0 es cociente de continuas y, por L'Hôpital, ln(x² + 1)/x → 0 = f(0).
- b)f′(0) = 1 y la tangente es y = x: por definición, f′(0) = lim ln(h² + 1)/h² = 1, y pasa por (0, 0).
Pregunta 5.2
Se considera la función f(x) = ln(x² + 1)/x si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Se pide:
- a)Determinar si f(x) es continua en todo ℝ. (1 p)
- b)Determinar si f(x) es derivable en el punto x = 0 y, si existe, calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) para x = 0. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: continuidad en x = 0 y ecuación de la recta tangente.
- 01a) Continuidad en x ≠ 00,3
- 02a) Continuidad en x = 00,7
- 03b) Planteamiento0,2
- 04b) Cálculo de f′(0)0,3
- 05b) Ecuación de la recta tangente0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué pasa con el cociente en x = 0?
Fuera de 0 la continuidad es inmediata; en 0 aparece un límite indeterminado que tienes que comparar con el valor f(0).
Pista 2 · ¿Cómo se deriva en un punto definido aparte?
En b), la función está definida aparte en x = 0: la derivada en ese punto sale de la definición como límite.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica la continuidad en x ≠ 0Tribunal: continuidad en x ≠ 00,3
Para x ≠ 0, f(x) = ln(x² + 1)/x. Como x² + 1 > 0 para todo x, el logaritmo está definido y es continuo, y el denominador x no se anula. Un cociente de funciones continuas con denominador no nulo es continuo, así que f es continua en todo x ≠ 0.
02a · Calcula el límite en 0 y compáralo con f(0)Tribunal: continuidad en x = 00,7
En x = 0 el cociente da 0/0. Aplica L'Hôpital: el límite es el de 2x/(x² + 1), que vale 0. Coincide con f(0) = 0, así que f es continua en x = 0 y, con el paso anterior, en todo ℝ. También sale con el infinitésimo ln(1 + x²) ~ x²: el cociente se comporta como x²/x = x → 0.
03b · Plantea f′(0) con la definición de derivadaTribunal: planteamiento0,2
En x = 0 la función está definida aparte, así que la derivada se calcula con el cociente incremental. Como f(0) = 0, queda f′(0) = lim (f(h) − 0)/h = lim ln(h² + 1)/h², con h → 0.
04b · Calcula el límite y concluye que f es derivableTribunal: cálculo de f′(0)0,3
El límite vuelve a ser 0/0. Por L'Hôpital, es el de (2h/(h² + 1))/(2h) = 1/(h² + 1), que tiende a 1. El límite existe y es finito, así que f es derivable en x = 0 y f′(0) = 1. Con el infinitésimo ln(1 + h²) ~ h² sale lo mismo.
05b · Escribe la recta tangente en x = 0Tribunal: ecuación de la recta tangente0,5
La tangente en x = 0 pasa por (0, f(0)) = (0, 0) y tiene pendiente f′(0) = 1. Sustituye en y − f(0) = f′(0)(x − 0): la recta es y = x.
Error típico
Derivar f(0) = 0 como si fuera una función constante
Lo que se suele escribir: f′(0) = (0)′ = 0. Lo correcto: f′(0) = lim ln(h² + 1)/h² = 1
Como f(0) = 0 aparece escrito como un valor fijo, hay quien «deriva la constante» y pone f′(0) = 0. Pero esa línea solo define f en un punto, no en un entorno, y la derivada en 0 depende de cómo se comporta f alrededor: aquí, f′(0) = lim (f(h) − f(0))/h = 1. Derivar el valor aislado no justifica f′(0); el cociente incremental permite calcularla correctamente.
Cuesta los puntos de «planteamiento»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.