PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 4.2: discusión y resolución de un sistema con parámetro λ
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- a)compatible determinado si λ ≠ −1 y λ ≠ 4, compatible indeterminado si λ = −1 e incompatible si λ = 4, según rg A y rg A*.
- b)(x, y, z) = (t, 9 − 3t, 16 − 5t): la tercera ecuación repite la primera y se despeja con x = t.
Pregunta 4.2
Sea el sistema de ecuaciones formado por x + 2y − z = 2, 2x + λy + z = 7 y x + 2y + λz = 2. Se pide:
- a)Discutir el sistema en función del parámetro real λ. (1 p)
- b)Resolver el sistema si λ = −1. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo de los valores de λ para la discusión0,1
- 02a) Caso λ ≠ −1 y λ ≠ 4 correctamente resuelto0,3
- 03a) Caso λ = −1 correctamente resuelto0,3
- 04a) Caso λ = 4 correctamente resuelto0,3
- 05b) Planteamiento0,5
- 06b) Resolución0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores de λ hay que estudiar aparte?
Calcula el determinante de la matriz de coeficientes: los valores de λ que lo anulan son los casos especiales, y en cada uno compara el rango de A con el de la ampliada.
Pista 2 · ¿Cuántas ecuaciones independientes quedan?
En b), antes de despejar, mira si alguna ecuación es igual a otra; deja una incógnita como parámetro.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula |A| y halla los valores de λ que lo anulanTribunal: cálculo de los valores de λ para la discusión0,1
El sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas, así que empieza por el determinante de la matriz de coeficientes A. Desarrollando sale |A| = λ² − 3λ − 4 = (λ − 4)(λ + 1), que solo se anula en λ = 4 y λ = −1. Esos dos valores son los casos que hay que estudiar aparte; todos los demás forman un único caso.
02a · Discute el caso λ ≠ −1 y λ ≠ 4Tribunal: caso λ ≠ −1 y λ ≠ 4 correctamente resuelto0,3
Si λ ≠ −1 y λ ≠ 4, |A| ≠ 0, así que rg A = 3. La ampliada A* tiene solo 3 filas, luego también rg A* = 3, que coincide con el número de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado: tiene una única solución.
03a · Discute el caso λ = −1 comparando rangosTribunal: caso λ = −1 correctamente resuelto0,3
Con λ = −1 la tercera ecuación queda x + 2y − z = 2, idéntica a la primera, así que sobra. El menor formado por las dos primeras filas y columnas vale 1·(−1) − 2·2 = −5 ≠ 0, de modo que rg A = rg A* = 2. Como 2 < 3 incógnitas, el sistema es compatible indeterminado, con 3 − 2 = 1 parámetro.
04a · Discute el caso λ = 4 comparando rangosTribunal: caso λ = 4 correctamente resuelto0,3
Con λ = 4, |A| = 0 y el menor de las columnas de x y z en las dos primeras filas vale 1·1 − (−1)·2 = 3 ≠ 0, así que rg A = 2. En la ampliada, el menor con las columnas de x, z y términos independientes vale −15 ≠ 0, luego rg A* = 3. Como rg A ≠ rg A*, el sistema es incompatible. Escalonando se ve igual: quedan 3z = 3 y 5z = 0 a la vez.
05b · Quita la ecuación repetida y toma x = tTribunal: planteamiento0,5
Por el apartado a), con λ = −1 el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación coincide con la primera. Quedan dos ecuaciones independientes, x + 2y − z = 2 y 2x − y + z = 7, con tres incógnitas: una de ellas hace de parámetro. Toma x = t, con t ∈ ℝ.
06b · Despeja y y z en función de t y compruebaTribunal: resolución0,5
Suma las dos ecuaciones para eliminar z: 3x + y = 9, así que y = 9 − 3t. De la primera, z = x + 2y − 2 = t + 18 − 6t − 2 = 16 − 5t. La solución es (x, y, z) = (t, 9 − 3t, 16 − 5t), t ∈ ℝ. Comprueba en la segunda: 2t − (9 − 3t) + (16 − 5t) = 7. Cualquier otra elección de parámetro da la misma recta de soluciones.
Error típico
Dar por indeterminado un sistema solo porque |A| = 0
Lo que se suele escribir: |A| = 0: compatible indeterminado. Lo correcto: rg A = 2 < rg A* = 3: incompatible
Con λ = 4 el determinante se anula y es tentador concluir que el sistema es compatible indeterminado. Pero |A| = 0 solo dice que rg A < 3: para saber si hay solución tienes que calcular también el rango de la ampliada. Aquí rg A = 2 y rg A* = 3, así que el sistema es incompatible. En cada valor que anula |A|, busca siempre un menor de orden 3 en A* antes de decidir.
Cuesta los puntos de «caso λ = 4 correctamente resuelto»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.