Pregunta B.1: igualdad BCB⁻¹ = A, determinante de AAᵗ y sistema con la matriz B

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Justifica que B es invertible

   Justificación de la existencia de B⁻¹0,5

   Cada fila de B es b por la fila correspondiente de D = ((1, 2, 1), (2, 3, 1), (1, 1, 1)), así que B = bD y, al sacar b de las tres filas, |B| = b³·|D|. Por Sarrus, |D| = 3 + 2 + 2 − 3 − 1 − 4 = −1, de modo que |B| = −b³. Como el enunciado da b ≠ 0, |B| ≠ 0 y B⁻¹ existe: sin esta justificación la expresión BCB⁻¹ no tiene sentido.

   $$|B|=\left|\begin{array}{ccc}b& 2b& b\\ 2b& 3b& b\\ b& b& b\end{array}\right|=b^3\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=-b^3\ne 0$$
2. 02

   a · Pasa a BC = AB y halla los valores de b

   Planteamiento del cálculo de b · Solución correcta del cálculo de b0,75

   No hace falta calcular B⁻¹: como B es invertible, multiplicar por B por la derecha da una igualdad equivalente, BCB⁻¹ = A ⟺ BC = AB. Con B = bD queda b·DC = b·AD y, al ser b ≠ 0, DC = AD. Al multiplicar, las dos matrices salen iguales, ((2, 4, 3), (4, 6, 3), (2, 2, 3)), y b ha desaparecido de la condición. Por tanto la igualdad se verifica para todo b ≠ 0.

   $$BC{B}^{-1}=A⟺BC=AB⟺bDC=bAD⟺DC=AD$$

   $$DC=AD=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 4& 6& 3\\ 2& 2& 3\end{array}\right)$$
3. 03

   b · Plantea el determinante del producto

   Planteamiento0,5

   No multipliques A por Aᵗ: el determinante de un producto es el producto de los determinantes y una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante. Así, |AAᵗ| = |A|·|Aᵗ| = |A|², y todo se reduce a calcular |A|.

   $$|A{A}^t|=|A||A^t|=|A{|}^2$$
4. 04

   b · Calcula |A| y eleva al cuadrado

   Resolución0,25

   Por Sarrus, |A| = 9 − 1 − 1 − (1 − 3 − 3) = 7 + 5 = 12, luego |AAᵗ| = 12² = 144. Comprobación con el apartado a): como A = BCB⁻¹, |A| = |B|·|C|·|B|⁻¹ = |C| = 2·2·3 = 12.

   $$|A|=12⟹|A{A}^t|={12}^2=144$$
5. 05

   c · Escribe el sistema para b = 1 y clasifícalo

   Planteamiento0,25

   Para b = 1, B = D y el sistema es x + 2y + z = 3, 2x + 3y + z = −1, x + y + z = 1. Como |B| = −1 ≠ 0, el rango de la matriz de coeficientes es 3, igual al de la ampliada y al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

   $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right)$$
6. 06

   c · Resuelve el sistema

   Resolución0,25

   Restar la tercera ecuación a la primera da y = 2; restar la primera a la segunda da x + y = −4, así que x = −6; y de la tercera, z = 1 − x − y = 5. La solución es (x, y, z) = (−6, 2, 5). Comprobación: −6 + 4 + 5 = 3, −12 + 6 + 5 = −1 y −6 + 2 + 5 = 1.