Pregunta B.2: integral definida de (x + 2) ln x y límite de (tg(x/2))^(1/cos x)

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Plantea la integración por partes

   Planteamiento0,5

   El logaritmo se simplifica al derivarlo y el polinomio se integra sin problema, así que toma u = ln x y dv = (x + 2) dx. Entonces du = dx/x y v = x²/2 + 2x. La fórmula ∫u dv = uv − ∫v du deja una integral sin logaritmo, porque v·(1/x) = x/2 + 2.

   $$u=\ln x,du=\frac{dx}{x},dv=(x+2)dx,v=\frac{x^2}{2}+2x$$

   $${\int }_1^e(x+2)\ln xdx=\left[\right(\frac{x^2}{2}+2x)\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e(\frac{x}{2}+2)dx$$
2. 02

   a · Calcula la primitiva y aplica Barrow

   Resolución0,75

   En el primer término, ln e = 1 y ln 1 = 0, así que vale e²/2 + 2e. La segunda integral es [x²/4 + 2x] entre 1 y e, es decir, e²/4 + 2e − 9/4. Restando, e²/2 + 2e − e²/4 − 2e + 9/4 = (e² + 9)/4 ≈ 4,097. Es positivo, como debe ser: en [1, e] los dos factores, x + 2 y ln x, son no negativos.

   $$=\frac{e^2}{2}+2e-[\frac{x^2}{4}+2x{]}_1^e=\frac{e^2}{2}+2e-(\frac{e^2}{4}+2e-\frac{9}{4})=\frac{e^2+9}{4}$$
3. 03

   b · Identifica la indeterminación y resuélvela con L'Hôpital

   Planteamiento1

   Al sustituir, tg(π/4) = 1 y cos(π/2) = 0: la base tiende a 1 y el exponente crece sin límite en valor absoluto, así que es una indeterminación 1^∞. Escribe la potencia como e elevado a ln(tg(x/2))/cos x y calcula el límite L de ese exponente, que es del tipo 0/0. Por L'Hôpital, la derivada de ln(tg(x/2)) es (1 + tg²(x/2))/(2·tg(x/2)), que en π/2 vale 2/2 = 1, y la de cos x es −sen x, que vale −1: L = −1.

   $$\underset{x\to \pi /2}{\lim }(\mathrm{tg}\frac{x}{2}{)}^{1/\cos x}=e^L,L=\underset{x\to \pi /2}{\lim }\frac{\ln \mathrm{tg}(x/2)}{\cos x}$$

   $$L=\underset{x\to \pi /2}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1+{\mathrm{tg}}^2(x/2)}{2\mathrm{tg}(x/2)}}}{-\mathrm{sen}x}=\frac{1}{-1}=-1$$
4. 04

   b · Da el valor del límite

   Solución del límite0,25

   Con L = −1, el límite pedido es e⁻¹ = 1/e ≈ 0,368. No olvides deshacer el cambio: −1 es el límite del exponente, no el de la función. El resultado es el mismo por la izquierda y por la derecha de π/2.

   $$\underset{x\to \pi /2}{\lim }(\mathrm{tg}\frac{x}{2}{)}^{1/\cos x}=e^{-1}=\frac{1}{e}$$