PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 5.2: límites con el conjugado y con la regla de L’Hôpital
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- a)límite = 3/2: es ∞ − ∞ y, al multiplicar por el conjugado, queda 3x/(√(x² + 3x) + x), que tiende a 3/(1 + 1).
- b)límite = 3/2: es 0/0 y, por L'Hôpital, 3e³ˣ/(2/(1 + 2x)) vale 3/2 en x = 0.
Pregunta 5.2
Calcule los siguientes límites:
- a)lím_(x→+∞) (√(x² + 3x) − x). (1 p)
- b)lím_(x→0) (e³ˣ − 1)/ln(1 + 2x). (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Indeterminación0,1
- 02a) Uso del conjugado0,4
- 03a) Manipulación algebraica correcta0,3
- 04a) Respuesta correcta0,2
- 05b) Indeterminación0,1
- 06b) Uso de la regla de L’Hôpital0,3
- 07b) Derivación correcta0,4
- 08b) Respuesta correcta0,2
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo quitar la raíz de una resta?
En a), la diferencia de una raíz y otro término que crecen a la vez se trata multiplicando y dividiendo por una expresión que elimine la raíz.
Pista 2 · ¿Qué forma tiene el límite en x = 0?
En b), sustituye primero x = 0 para ver qué tipo de límite es y, al derivar, no olvides la derivada de lo que hay dentro de la exponencial y del logaritmo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Identifica la indeterminaciónTribunal: indeterminación0,1
Cuando x → +∞, √(x² + 3x) → +∞ y x → +∞, así que el límite es de la forma ∞ − ∞. Es una indeterminación: no puedes decir nada sin transformar la expresión, porque los dos términos crecen casi al mismo ritmo.
02a · Multiplica y divide por el conjugadoTribunal: uso del conjugado0,4
El conjugado de √(x² + 3x) − x es √(x² + 3x) + x. Al multiplicar y dividir por él, el numerador es una suma por diferencia, (√(x² + 3x))² − x², y la raíz desaparece de ahí. Para x > 0 el conjugado es positivo, así que la operación es legítima.
03a · Simplifica y divide entre xTribunal: manipulación algebraica correcta0,3
El numerador queda x² + 3x − x² = 3x, de modo que la expresión es 3x/(√(x² + 3x) + x), ahora de tipo ∞/∞. Divide numerador y denominador entre x; como x > 0, x = √(x²) y puedes meterlo en la raíz: queda 3/(√(1 + 3/x) + 1).
04a · Calcula el límiteTribunal: respuesta correcta0,2
Cuando x → +∞, 3/x → 0, así que √(1 + 3/x) → 1 y el límite vale 3/(1 + 1): límite = 3/2. Es razonable: para x grande, √(x² + 3x) ≈ x + 3/2, que se queda 3/2 por encima de x.
05b · Identifica la indeterminaciónTribunal: indeterminación0,1
Sustituyendo x = 0, el numerador vale e⁰ − 1 = 0 y el denominador ln(1) = 0: el límite es de la forma 0/0. Es una indeterminación, y escribirla es lo que justifica aplicar L'Hôpital en el paso siguiente.
06b · Aplica la regla de L'HôpitalTribunal: uso de la regla de L’Hôpital0,3
Numerador y denominador son derivables cerca de 0 y los dos tienden a 0, así que el límite del cociente coincide con el límite del cociente de sus derivadas, si este existe. Deriva por separado el numerador y el denominador: no es la derivada del cociente.
07b · Deriva el numerador y el denominadorTribunal: derivación correcta0,4
Por la regla de la cadena, (e³ˣ − 1)′ = 3e³ˣ y (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x): en los dos casos hay que multiplicar por la derivada de lo de dentro, 3 y 2. El nuevo cociente es 3e³ˣ/(2/(1 + 2x)) = 3e³ˣ·(1 + 2x)/2, que ya no es indeterminado en x = 0.
08b · Calcula el límiteTribunal: respuesta correcta0,2
Sustituyendo x = 0 en 3e³ˣ·(1 + 2x)/2 queda 3·1·1/2: límite = 3/2. Comprueba con los infinitésimos equivalentes: cerca de 0, e³ˣ − 1 ≈ 3x y ln(1 + 2x) ≈ 2x, y su cociente es 3/2.
Error típico
Olvidar la regla de la cadena al derivar ln(1 + 2x)
Lo que se suele escribir: (ln(1 + 2x))′ = 1/(1 + 2x). Lo correcto: (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x)
Al aplicar L'Hôpital es habitual derivar ln(1 + 2x) como 1/(1 + 2x), olvidando la regla de la cadena: el límite sale 3 en lugar de 3/2 y pierdes los puntos de la derivación y de la respuesta. La derivada de ln(u) es u′/u, y aquí u = 1 + 2x tiene derivada 2. Pasa lo mismo con e³ˣ, cuya derivada lleva el factor 3.
Cuesta los puntos de «derivación correcta»: 0,4 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.