PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 4.2: reciclaje en Ueno: binomial y aproximación normal
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- a)P(X ≤ 1) ≈ 0,4559: si X cuenta los hogares que fallan, X ~ B(10; 0,175) y se suman P(X = 0) y P(X = 1).
- b)P(no sanción) ≈ 0,0019: Y, los fallos de 200 hogares, es B(200; 0,175), que se aproxima por N(35; 5,37), y con la corrección de Yates queda P(Y ≤ 19) ≈ P(Z ≤ −2,89), con Z la normal tipificada.
Pregunta 4.2
En los barrios de Tokio se considera el reciclaje y la clasificación de la basura una obligación ciudadana. Si no se clasifican los residuos de forma correcta para que sean retirados por la empresa de recogida de basuras, estos no son recogidos y el barrio puede ser penalizado por el ayuntamiento. En el barrio de Ueno, el 82,5 % de los hogares realizan esta tarea de forma adecuada.
- a)Se analizan los residuos de diez hogares de este barrio. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de ellos no clasifique correctamente sus residuos. (1 p)
- b)El ayuntamiento selecciona una muestra aleatoria de 200 hogares en este barrio y si el porcentaje de familias que comete errores en la clasificación de sus residuos es superior o igual al 10 %, el barrio es penalizado. Calcule, aproximando por una distribución normal adecuada, la probabilidad de que los vecinos de Ueno no sean sancionados. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Identificación de la binomial0,1
- 02a) Identificación de los parámetros0,1
- 03a) Identificación del suceso0,2
- 04a) Cálculo de la probabilidad0,4
- 05a) Respuesta correcta0,2
- 06b) Parámetros correctos de la normal0,2
- 07b) Identificación del suceso0,2
- 08b) Aproximación de Yates (corrección por continuidad)0,1
- 09b) Tipificación0,2
- 10b) Uso correcto de la tabla0,2
- 11b) Respuesta correcta0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué valores incluye «a lo sumo uno»?
En a), decide qué cuenta tu binomial (hogares que fallan o que aciertan) y traduce «a lo sumo uno» en los valores concretos de esa variable.
Pista 2 · ¿Dónde empieza la sanción en número de hogares?
En b), pasa el 10 % a número de hogares, mira si ese valor exacto ya es sanción y recuerda corregir por continuidad antes de tipificar.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Identifica la binomial y sus parámetrosTribunal: identificación de la binomial · identificación de los parámetros0,2
Llama X al número de hogares, de los diez, que no clasifican bien sus residuos. Cada hogar es un ensayo con dos resultados (clasifica bien o no), independiente de los demás y con la misma probabilidad de fallo: X es binomial con n = 10 y p = 1 − 0,825 = 0,175. Si prefieres contar los hogares que sí clasifican bien, la variable es B(10; 0,825) y el razonamiento es el mismo con el suceso traducido.
02a · Traduce «a lo sumo uno» en valores de XTribunal: identificación del suceso0,2
«A lo sumo uno no clasifica correctamente» significa que no falla ninguno o falla exactamente uno: X ≤ 1, es decir, {X = 0} ∪ {X = 1}. Son dos casos incompatibles, así que sus probabilidades se suman. Si cuentas los hogares que aciertan, el mismo suceso es «al menos 9 aciertan».
03a · Calcula P(X = 0) y P(X = 1) con la fórmula de la binomialTribunal: cálculo de la probabilidad0,4
Con la fórmula de la binomial, P(X = 0) = 0,825¹⁰ ≈ 0,1461 (los diez clasifican bien) y P(X = 1) = C(10, 1)·0,175·0,825⁹ ≈ 0,3098 (falla uno, que puede ser cualquiera de los diez). No olvides el factor C(10, 1) = 10: cuenta las posiciones posibles del único hogar que falla.
04a · Da la probabilidad pedidaTribunal: respuesta correcta0,2
Sumando, la probabilidad de que a lo sumo uno de los diez hogares no clasifique bien sus residuos es P(X ≤ 1) ≈ 0,4559, algo menos de la mitad. Es coherente: con una media de 10·0,175 = 1,75 fallos, quedarse en 0 o 1 no es lo más probable.
05b · Fija los parámetros de la normalTribunal: parámetros correctos de la normal0,2
Llama Y al número de hogares, de los 200 de la muestra, que cometen errores: Y ~ B(200; 0,175). Se cumple np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5 (np = 35 y n(1 − p) = 165), así que la binomial se aproxima por una normal con media μ = n·p = 35 y desviación típica σ = √(n·p·q) = √28,875 ≈ 5,37.
06b · Traduce «no ser sancionados» en valores de YTribunal: identificación del suceso0,2
El 10 % de 200 hogares son 20: el barrio se penaliza si Y ≥ 20. No ser sancionado es el suceso contrario, Y < 20, y como Y solo toma valores enteros, eso es Y ≤ 19. Fíjate en que el 20 pertenece a la sanción, porque el enunciado dice «superior o igual».
07b · Aplica la corrección por continuidad de YatesTribunal: aproximación de Yates (corrección por continuidad)0,1
Al pasar de una variable discreta a una continua, cada entero k se sustituye por el intervalo [k − 0,5; k + 0,5]. El suceso Y ≤ 19 incluye entero el valor 19, así que en la normal se toma hasta 19,5: P(Y ≤ 19) ≈ P(Y′ ≤ 19,5), con Y′ ~ N(35; 5,37).
08b · Tipifica el valor 19,5Tribunal: tipificación0,2
Resta la media y divide por la desviación típica: Z = (Y′ − 35)/5,37 sigue una N(0; 1). El valor 19,5 se transforma en (19,5 − 35)/5,37 = −15,5/5,37 ≈ −2,89, de modo que P(Y′ ≤ 19,5) ≈ P(Z ≤ −2,89).
09b · Lee la tabla y aplica la simetría de la normalTribunal: uso correcto de la tabla0,2
La tabla solo recoge valores positivos de z, así que usa la simetría: P(Z ≤ −2,89) = 1 − P(Z ≤ 2,89). En la fila 2,8 y la columna 0,09 se lee 0,9981, luego la probabilidad es P(Z ≤ −2,89) ≈ 1 − 0,9981 = 0,0019. Si no redondeas σ (≈ 5,3735), sale z ≈ −2,88 y la tabla da 1 − 0,9980 = 0,0020: la diferencia es solo de redondeo.
10b · Da la probabilidad de no ser sancionadosTribunal: respuesta correcta0,1
La probabilidad de que los vecinos de Ueno no sean sancionados es P(no sanción) ≈ 0,0019, prácticamente nula. Tiene sentido: en Ueno falla de media el 17,5 % de los hogares, muy por encima del 10 % que dispara la sanción, así que una muestra de 200 casi siempre tendrá 20 errores o más.
Error típico
Incluir el 20 en «no ser sancionados»
Lo que se suele escribir: P(no sanción) = P(Y ≤ 20). Lo correcto: P(no sanción) = P(Y ≤ 19)
Es habitual dar por bueno el 20 al no ser sancionado y calcular P(Y ≤ 20), que con Yates lleva a 20,5 y a z ≈ −2,70: pierdes los puntos del suceso y arrastras el error a la tipificación y a la tabla. La sanción es «superior o igual al 10 %», así que 20 errores ya se sancionan; no sancionar es Y ≤ 19, y con la corrección por continuidad se tipifica 19,5. Escribe el suceso en enteros antes de pasar a la normal.
Cuesta los puntos de «identificación del suceso»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.