PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada

Pregunta 3: aceitunas con escudete: binomial y aproximación por la normal

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a)P(X = 0) = 0,95¹² ≈ 0,5404: las aceitunas con escudete de una bolsa siguen una B(12; 0,05).
b)P(T ≥ 60) ≈ 0,0033: T, las bolsas con alguna aceituna enferma de las 100, es B(100; 0,4596), que se aproxima por N(45,96; 4,98), y con corrección por continuidad queda P(Z ≥ 2,72), con Z la normal tipificada.

Pregunta 3

PAU Madrid modelo 2026Probabilidad2 puntos

Una envasadora de aceitunas comercializa bolsas con 12 aceitunas. La cosecha de este año ha sido atacada por el hongo Sphaeropsis dalmatica y una de cada veinte aceitunas presenta la enfermedad escudete. Se pide:

a)Calcular la probabilidad de que una bolsa no tenga aceitunas con la enfermedad. (1 p)
b)Los controles sanitarios han fallado y se han distribuido 100 bolsas de aceitunas de esta cosecha. Calcular, aproximando por una distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos el 60 % de las bolsas distribuidas tenga alguna aceituna con escudete. (1 p)

Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (uah.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Distribución correcta0,5
02a) Cálculo correcto de la probabilidad0,5
03b) Distribución correcta0,2
04b) Planteamiento correcto de la aproximación por una normal0,5
05b) Cálculo correcto de la aproximación0,3

Penalización: Cálculo sin corrección por continuidad, o con una corrección incorrecta (−0,2).

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué distribución sigue cada bolsa?

En a), define bien la variable: cuenta las aceitunas enfermas de una bolsa de 12 y piensa qué distribución sigue.

Pista 2 · En b), ¿qué cuenta como éxito?

En b), lo que cuentas ya no son aceitunas sino bolsas con alguna aceituna enferma; su probabilidad sale del apartado a). Al pasar a la normal, recuerda que la binomial es discreta.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Define la variable y su distribución binomialTribunal: distribución correcta0,5
Sea X el número de aceitunas con escudete en una bolsa. Cada una de las 12 aceitunas está enferma o no, con probabilidad 1/20 = 0,05, y se supone independencia entre ellas: X ~ B(12; 0,05). También vale contar las aceitunas sanas, B(12; 0,95); lo que puntúa es dejar claros n y p.
$X \sim B (12; 0,05)$
Tribunal
Distribución correcta: 0,5 puntos.
0,5de 2
02a · Calcula la probabilidad de que no haya ninguna enfermaTribunal: cálculo correcto de la probabilidad0,5
«Ninguna aceituna enferma» es X = 0. Con la fórmula binomial, P(X = 0) = C(12, 0)·0,05⁰·0,95¹² = 0,95¹² ≈ 0,5404. Algo más de la mitad de las bolsas salen limpias.
$P (X = 0) = (\binom{12}{0}) {0,05}^{0} {0,95}^{12} = {0,95}^{12} \approx 0,5404$
Tribunal
Cálculo correcto de la probabilidad: 0,5 puntos.
0,5de 2
03b · Plantea la binomial del número de bolsas afectadasTribunal: distribución correcta0,2
Ahora el «éxito» es una bolsa con alguna aceituna con escudete, el suceso contrario al de a): p = 1 − 0,95¹² ≈ 0,4596. Si T es el número de bolsas afectadas entre las 100 distribuidas, T ~ B(100; 0,4596). Al menos el 60 % de 100 bolsas significa T ≥ 60.
$p = 1 - {0,95}^{12} \approx 0,4596, T \sim B (100; 0,4596)$
Tribunal
Distribución correcta: 0,2 puntos.
0,2de 2
04b · Justifica la aproximación por la normalTribunal: planteamiento correcto de la aproximación por una normal0,5
Comprueba que np ≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5: n·p = 45,96 y n·(1 − p) = 54,04, así que la binomial se puede aproximar por una normal con su misma media y su misma desviación típica: μ = n·p = 45,96 y σ = √(n·p·(1 − p)) ≈ 4,98. Así, T se aproxima por Y ~ N(45,96; 4,98).
$μ = 100 \cdot 0,4596 = 45,96, σ = \sqrt{100 \cdot 0,4596 \cdot 0,5404} \approx 4,98$
Tribunal
Planteamiento correcto de la aproximación por una normal: 0,5 puntos.
0,5de 2
05b · Aplica la corrección por continuidad y tipificaTribunal: cálculo correcto de la aproximación0,3
T es discreta y Y continua: el valor 60 ocupa el intervalo [59,5; 60,5], así que P(T ≥ 60) ≈ P(Y ≥ 59,5). Tipifica: z = (59,5 − 45,96)/4,98 ≈ 2,72, y en la tabla P(Z ≥ 2,72) = 1 − 0,9967 = 0,0033. Es un suceso muy poco probable, coherente con que 60 queda casi tres desviaciones por encima de la media.
$P (T \geq 60) \approx P (Y \geq 59,5) = P (Z \geq \frac{59,5 - 45,96}{4,98}) \approx P (Z \geq 2,72) = 1 - 0,9967 = 0,0033$
Tribunal
Cálculo correcto de la aproximación: 0,3 puntos. El cálculo sin corrección por continuidad, o una incorrecta, se penalizará con 0,2 puntos.
0,3de 2

Error típico

Olvidar la corrección por continuidad

Lo que se suele escribir: ~~P(T ≥ 60) ≈ P(Y ≥ 60)~~. Lo correcto: P(T ≥ 60) ≈ P(Y ≥ 59,5)

Lo más frecuente es tipificar directamente con 60: P(Y ≥ 60) da z ≈ 2,82 y una probabilidad de 0,0024. Al aproximar una variable discreta por una continua, cada valor entero ocupa medio punto a cada lado, y «al menos 60» empieza en 59,5. Sin esa corrección por continuidad el tribunal quita 0,2 de los 0,3 puntos del cálculo; antes de tipificar, escribe siempre la desigualdad con el ±0,5.

Cuesta los puntos de «cálculo correcto de la aproximación»: 0,3 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Esta pregunta salió en la PAU?

No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.