PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 4.1: matriz AAᵗ diagonal y producto (A − B)(A + B)
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- a)a = 1 o a = −1: AAᵗ tiene 2a² − 2 en los dos huecos fuera de la diagonal y tiene que anularse.
- b)a = 1: (A − B)(A + B) = A² + AB − BA − B², así que hace falta que AB = BA.
Pregunta 4.1
Sean a ∈ ℝ y las matrices A y B. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (1, 2) y (−1, 2). Se pide:
- a)Calcular, si existen, los valores de a tales que la matriz AAᵗ sea una matriz diagonal. (1 p)
- b)Calcular, si existen, los valores de a tales que (A − B)(A + B) = A² − B². (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Planteamiento0,5
- 02a) Resolución0,5
- 03b) Planteamiento0,5
- 04b) Cálculo del valor de a0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué tiene que anularse en una diagonal?
En a), calcula el producto AAᵗ en ese orden y mira qué elementos tienen que anularse para que sea diagonal.
Pista 2 · ¿Vale la identidad notable con matrices?
En b), desarrolla (A − B)(A + B) con la propiedad distributiva y recuerda que el producto de matrices no es conmutativo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula AAᵗ y plantea la condición de diagonalTribunal: planteamiento0,5
La traspuesta cambia filas por columnas: Aᵗ tiene filas (2a, a) y (−2, 1). Multiplica en ese orden, A por Aᵗ: AAᵗ tiene filas (4a² + 4, 2a² − 2) y (2a² − 2, a² + 1). Una matriz es diagonal cuando todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0; aquí los dos valen 2a² − 2 (AAᵗ es simétrica), así que basta una ecuación.
02a · Resuelve la ecuación y compruebaTribunal: resolución0,5
2a² − 2 = 0 da a² = 1, es decir, a = 1 o a = −1. Compruébalo: con cualquiera de los dos valores, AAᵗ tiene filas (8, 0) y (0, 2), que es diagonal. No descartes a = −1: el enunciado pide todos los valores.
03b · Desarrolla el producto sin conmutarTribunal: planteamiento0,5
Aplica la propiedad distributiva respetando el orden de los factores: (A − B)(A + B) = A² + AB − BA − B². Con matrices, AB y BA no tienen por qué coincidir, así que la igualdad con A² − B² solo se cumple si AB − BA = 0, es decir, si A y B conmutan.
04b · Calcula AB y BA e iguálalas para hallar aTribunal: cálculo del valor de a0,5
AB tiene filas (2a + 2, 4a − 4) y (a − 1, 2a + 2); BA tiene filas (4a, 0) y (0, 4). Igualando elemento a elemento: 4a − 4 = 0 y a − 1 = 0 dan a = 1, y con ese valor también 2a + 2 = 4a y 2a + 2 = 4. Las cuatro ecuaciones son compatibles solo con a = 1; entonces AB = BA = 4I.
Error típico
Aplicar la identidad notable como con números
Lo que se suele escribir: (A − B)(A + B) = A² − B² ∀a ∈ ℝ. Lo correcto: (A − B)(A + B) = A² + AB − BA − B²
Es tentador usar la identidad notable de los números y dar por hecho que (A − B)(A + B) = A² − B² para todo a. Con matrices, al desarrollar aparecen AB y −BA, que solo se cancelan si A y B conmutan; aquí eso ocurre únicamente para a = 1. Desarrolla siempre el producto término a término respetando el orden de cada factor antes de simplificar.
Cuesta los puntos de «planteamiento»: 0,5 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.