PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 5.1: teorema de Bolzano en una función trigonométrica a trozos
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)a = −8, b = 4: así f es continua en π/2 y en π, y f(0) = −7/2 < 0 < f(2π) = 4.
- b)una única raíz, x = 5π/6: solo el trozo −8 sen x + 4 cambia de signo, y en [π/2, π) sen x = 1/2 solo en 5π/6.
Pregunta 5.1
Sea la función f(x) definida por f(x) = (1/2)(−8 + cos x) si 0 ≤ x < π/2; f(x) = a sen(x) + 4 si π/2 ≤ x < π; f(x) = 2 sen(2x) + b si π ≤ x ≤ 2π.
- a)Halle los valores de a y b para que se verifiquen las hipótesis del Teorema de Bolzano en [0, 2π]. (1 p)
- b)Justifique razonadamente que la función f(x) tiene una única raíz en el intervalo (0, 2π) y calcule dicha raíz. (1 p)
Con el examen se entrega: Tabla de la distribución normal N(0; 1).
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uah.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo de a y b para que se verifique el Teorema de Bolzano0,5
- 02a) Comprobación del resto de hipótesis del Teorema0,5
- 03b) Respuesta razonada0,5
- 04b) Cálculo de la raíz de la función0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde puede fallar la continuidad?
Bolzano pide continuidad en todo el intervalo cerrado y signos distintos en los extremos; dentro de cada trozo la continuidad es automática, así que fíjate en los puntos de unión.
Pista 2 · ¿Qué trozo puede valer cero?
En b), acota cada trozo con −1 ≤ sen x ≤ 1 y −1 ≤ cos x ≤ 1 para descartar los trozos que no pueden anularse.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Impón la continuidad en x = π/2 y en x = πTribunal: cálculo de a y b para que se verifique el Teorema de Bolzano0,5
Bolzano exige que f sea continua en [0, 2π], y los únicos puntos dudosos son las uniones de los trozos. En π/2: el límite por la izquierda es (−8 + cos(π/2))/2 = −4 y f(π/2) = a·sen(π/2) + 4 = a + 4, así que a = −8. En π: el límite por la izquierda es a·sen π + 4 = 4 y f(π) = 2 sen(2π) + b = b, así que b = 4.
02a · Comprueba el resto de hipótesis de BolzanoTribunal: comprobación del resto de hipótesis del Teorema0,5
Dentro de cada trozo, f está formada por senos, cosenos y constantes, que son continuas en ℝ; con a = −8 y b = 4 también lo es en las uniones, así que f es continua en [0, 2π]. Falta el cambio de signo en los extremos: f(0) = (−8 + 1)/2 = −7/2 < 0 y f(2π) = 2 sen(4π) + 4 = 4 > 0. Se cumplen todas las hipótesis.
03b · Razona por qué la raíz existe y es únicaTribunal: respuesta razonada0,5
Bolzano garantiza al menos una raíz en (0, 2π); para la unicidad, acota cada trozo. En [0, π/2), cos x ≤ 1 da f(x) ≤ −7/2 < 0; en [π, 2π], sen(2x) ≥ −1 da f(x) ≥ 2 > 0: ahí no hay raíces. En [π/2, π), f(x) = −8 sen x + 4 y sen x decrece de 1 a 0, así que f crece estrictamente de −4 a 4 y corta al eje una sola vez.
04b · Resuelve −8 sen x + 4 = 0 en [π/2, π)Tribunal: cálculo de la raíz de la función0,5
Iguala a cero el único trozo que cambia de signo: sen x = 1/2. En [0, 2π) eso ocurre en π/6 y en 5π/6, pero solo 5π/6 está en [π/2, π). La raíz es x = 5π/6; compruébalo: −8·(1/2) + 4 = 0.
Error típico
Dar como raíz una solución que cae fuera de su trozo
Lo que se suele escribir: x = π/6. Lo correcto: x = 5π/6
Al resolver sen x = 1/2 es fácil quedarse con la solución que primero se recuerda, π/6, o dar las dos. Pero la ecuación −8 sen x + 4 = 0 solo describe a f en el trozo [π/2, π): π/6 está en el primer trozo, donde f(π/6) = −4 + √3/4 ≈ −3,57, no 0. En una función a trozos, cada solución que obtengas tiene que caer en el intervalo del trozo que has igualado a cero.
Cuesta los puntos de «cálculo de la raíz de la función»: 0,5 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.1 o la 5.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2026 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uah.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAH. Publicado en uah.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.