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Concepto · Análisis · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II

Teorema de Bolzano: qué dice, qué hipótesis exige y cómo se aplica

En breve

El teorema de Bolzano dice que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en sus extremos, se anula al menos una vez dentro: existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0. Sirve para demostrar que una ecuación tiene solución sin resolverla.

Dicho con precisión

Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, es decir, f(a)·f(b) < 0, entonces existe al menos un punto c del intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0.

f continua en [a,b] y f(a)⋅f(b)<0⟹∃c∈(a,b):f(c)=0

Míralo en movimiento

En la figura, el cable es la gráfica de f y el agua es el eje OX. Si una pinza queda bajo el agua y la otra fuera, el cable corta el nivel en un punto c. Si las dos quedan del mismo lado, el teorema no promete nada, y si cortas el cable, deja de ser continuo.

Abrir la figura a pantalla completa

Cómo se aplica, paso a paso

Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.

Ejemplo

Demuestra que la ecuación x³ + x = 1 tiene una única solución real y que esa solución está en el intervalo (0, 1).

  1. Pasa todo a un miembro y define la función

    Bolzano habla de los ceros de una función, así que escribe la ecuación en la forma f(x) = 0: x³ + x − 1 = 0, con f(x) = x³ + x − 1. Las soluciones de la ecuación son exactamente los puntos donde f se anula, es decir, donde su gráfica corta el eje OX.

    x3+x=1⟺f(x)=x3+x−1=0

  2. Justifica la continuidad en el intervalo cerrado

    f es un polinomio, así que es continua en todo ℝ y, en particular, en [0, 1]. Escríbelo siempre: es la hipótesis del teorema y sin ella la conclusión no vale. Si la función tiene logaritmos, raíces, denominadores o está definida a trozos, comprueba que en el intervalo cerrado no hay ningún punto donde deje de ser continua.

  3. Evalúa la función en los extremos y compara los signos

    En el extremo izquierdo, f(0) = −1 < 0. En el derecho, como 1³ + 1 − 1 = 1, f(1) = 1 > 0. Los signos son opuestos, lo que se resume en f(0)·f(1) = −1 < 0.

    f(0)=−1<0,f(1)=1>0

  4. Concluye citando el teorema de Bolzano

    Redacta la conclusión completa, con el teorema por su nombre: f es continua en [0, 1] y f(0)·f(1) < 0; por el teorema de Bolzano, existe al menos un c ∈ (0, 1) tal que f(c) = 0, es decir, c³ + c = 1. Ese c es una solución de la ecuación dentro del intervalo pedido. El teorema no dice cuánto vale c ni cuántos hay.

    ∃c∈(0,1):c3+c=1

  5. Demuestra la unicidad con el signo de la derivada

    Bolzano da la existencia, no la unicidad. Para ver que la solución es única, deriva: f′(x) = 3x² + 1, que es positiva para todo x porque 3x² ≥ 0. Así, f es estrictamente creciente en ℝ y su gráfica solo puede cortar el eje OX una vez. La ecuación tiene una única solución real, y por el paso anterior está en (0, 1).

    f′(x)=3x2+1>0∀x∈ℝ

Errores típicos

  • Aplicarlo olvidando la hipótesis de continuidad

    Los signos opuestos no bastan. La función f(x) = 1/x cumple f(−1) = −1 y f(1) = 1 y no se anula nunca: no es continua en x = 0, que está dentro de [−1, 1]. Justifica la continuidad en todo el intervalo cerrado antes de aplicar el teorema, también en los puntos donde cambia la definición de una función a trozos.

  • Concluir que la solución es única

    Bolzano asegura al menos un cero, no uno solo: una función continua puede cambiar de signo y cortar el eje tres veces. Si el enunciado pide una única solución, añade un argumento de monotonía: si f′ es positiva (o negativa) en el intervalo, f es estrictamente monótona y no puede anularse dos veces.

  • Aplicarlo a cada miembro de la ecuación por separado

    En una ecuación como eˣ = 3 − x, ni eˣ ni 3 − x tienen por qué anularse: lo que hay que estudiar es su diferencia. Define f(x) = eˣ + x − 3 y busca sus ceros, porque la ecuación se cumple exactamente donde f(x) = 0.

Ejercicios reales de la PAU

1 ejercicio resuelto de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

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Otros conceptos

Preguntas frecuentes

¿Qué pasa si f(a) y f(b) tienen el mismo signo?

El teorema no dice nada: puede haber ceros o no haberlos. La función f(x) = x² − 1 en [−2, 2] cumple f(−2) = f(2) = 3 y aun así se anula dos veces, en x = −1 y x = 1, mientras que x² + 1 no se anula nunca. Si buscas un cero, prueba con un intervalo más pequeño en el que los signos sí cambien.

¿Cómo se demuestra que la raíz es única?

Con la monotonía. Si f′(x) > 0 en todo el intervalo, o f′(x) < 0, f es estrictamente monótona y su gráfica cruza el eje OX como mucho una vez; junto con Bolzano, que da al menos un cero, queda exactamente uno. También se puede razonar con el teorema de Rolle: si f es derivable y tuviera dos ceros, f′ se anularía entre ellos.

¿Qué relación tiene con el teorema de los valores intermedios?

Bolzano es el caso particular del valor 0. El teorema de los valores intermedios dice que una función continua en [a, b] toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Se deduce de Bolzano aplicándolo a g(x) = f(x) − k: para probar que f alcanza el valor k, comprueba que g es continua y cambia de signo.

¿Qué es el método de bisección?

Es la forma de acercarse al c que garantiza Bolzano: parte el intervalo por la mitad y evalúa f en el punto medio. Si vale 0, ya tienes la raíz; si no, quédate con la mitad en cuyos extremos f tiene signos opuestos. En el ejemplo, f(0,5) = −0,375 < 0, así que la raíz está entre 0,5 y 1; después, f(0,75) ≈ 0,17 > 0, así que está entre 0,5 y 0,75. Cada paso divide el intervalo entre dos, y siguiendo se llega a c ≈ 0,68.

¿Cómo se redacta en el examen?

Nombra la función, justifica su continuidad en el intervalo cerrado, escribe los valores de f(a) y f(b) con sus signos y cita el teorema por su nombre al concluir: existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0. Si te han dado una ecuación, termina traduciendo f(c) = 0 a la ecuación original, y si piden unicidad, añade el estudio del signo de f′.

¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?

Los 1 ejercicio resuelto de esta página: la 5.1 del modelo de 2026 de Matemáticas II (Madrid). Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Fuente

Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 19 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.