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Concepto · Álgebra · Matemáticas II

Matriz inversa: qué es, cuándo existe y cómo se calcula

En breve

La matriz inversa de A es la matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, la identidad. Existe si y solo si A es cuadrada y su determinante no es cero, det A ≠ 0, y se calcula como A⁻¹ = (1/det A)·(Adj A)ᵗ, con la matriz de adjuntos, o por Gauss-Jordan.

Dicho con precisión

La inversa de una matriz A es una matriz A⁻¹ tal que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, la identidad; si existe, es única. A tiene inversa (es invertible o regular) si y solo si es cuadrada y det A ≠ 0. Entonces A⁻¹ = (1/det A)·(Adj A)ᵗ, donde Adj A es la matriz de adjuntos: el adjunto del elemento de la fila i y la columna j es (−1)ⁱ⁺ʲ por el menor que queda al quitar esa fila y esa columna.

AA−1=A−1A=IA cuadrada:∃A−1⟺det⁡A≠0A−1=1det⁡A(Adj⁡A)t

Míralo en movimiento

Es la figura del ejercicio 1 de la ordinaria de Madrid 2026, cuya ecuación matricial usa A⁻¹. Las filas de A son varillas de una caja de volumen |det A|: al girar el dial de λ, la lectura da det A, y A tiene inversa justo cuando la caja tiene volumen; si se aplasta, no.

Abrir la figura a pantalla completa

Cómo se aplica, paso a paso

Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.

Ejemplo

Sea A la matriz de filas (1, 0, k), (k, 1, 0) y (2, 1, 0), con k real. Estudia para qué valores de k tiene inversa. Para k = 1, calcula A⁻¹ y resuelve la ecuación XA = B, donde B es la matriz de filas (1, 0, 1), (2, 1, 1) y (3, 2, 0).

  1. Calcula det A y halla los valores de k sin inversa

    A es cuadrada, así que tiene inversa justo cuando det A ≠ 0: empieza por el determinante. Desarrolla por la tercera columna, que tiene dos ceros: solo cuenta el elemento k de la primera fila, con signo +, multiplicado por su menor, y det A = k·(k·1 − 1·2) = k(k − 2). Se anula para k = 0 y k = 2, así que A tiene inversa si y solo si k ≠ 0 y k ≠ 2. Se ve en la propia matriz: con k = 0 la tercera columna es nula, y con k = 2 la segunda y la tercera fila son iguales.

    det⁡A=|10kk10210|=k|k121|=k(k−2)

  2. Para k = 1, calcula los adjuntos con sus signos

    Con k = 1, A tiene filas (1, 0, 1), (1, 1, 0) y (2, 1, 0), y det A = 1·(1 − 2) = −1 ≠ 0, así que A⁻¹ existe. El adjunto del elemento de la fila i y la columna j es Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ·Mᵢⱼ, donde el menor Mᵢⱼ es el determinante que queda al tachar esa fila y esa columna. Los signos se alternan como en un tablero de ajedrez, con + arriba a la izquierda. Por ejemplo, el adjunto del elemento de la fila 2 y la columna 1 es A₂₁ = −(0·0 − 1·1) = 1. Con cada adjunto en el lugar de su elemento, Adj A tiene filas (0, 0, −1), (1, −2, −1) y (−1, 1, 1).

    Aij=(−1)i+jMij,(+−+−+−+−+)
    Adj⁡A=(00−11−2−1−111)

  3. Traspón la matriz de adjuntos y divide entre det A

    Al trasponer, cada fila de Adj A pasa a ser una columna: (Adj A)ᵗ tiene filas (0, 1, −1), (0, −2, 1) y (−1, −1, 1). Después divide cada elemento entre det A = −1, que aquí equivale a cambiarles el signo a todos: A⁻¹ tiene filas (0, −1, 1), (0, 2, −1) y (1, 1, −1). Si det A no es 1 ni −1, pueden salir fracciones: deja el factor 1/det A delante de la matriz hasta el final.

    A−1=1det⁡A(Adj⁡A)t=1−1(01−10−21−1−11)=(0−1102−111−1)

  4. Comprueba que A·A⁻¹ = I

    Multiplica cada fila de A por cada columna de A⁻¹. La primera fila de A, (1, 0, 1), por la primera columna de A⁻¹, (0, 0, 1), da 1·0 + 0·0 + 1·1 = 1, y por la segunda, (−1, 2, 1), da 1·(−1) + 0·2 + 1·1 = 0. Con el resto de filas y columnas sale la identidad, así que la inversa es correcta. Si te has equivocado en un signo o en un adjunto, el producto no da I. En una matriz cuadrada basta con uno de los dos productos: si A·M = I, también M·A = I.

    AA−1=(101110210)(0−1102−111−1)=(100010001)=I

  5. Despeja X en XA = B multiplicando por A⁻¹ por la derecha

    Despeja antes de sustituir. X está a la izquierda de A, así que multiplica los dos miembros por A⁻¹ por la derecha: (XA)A⁻¹ = BA⁻¹ y, como AA⁻¹ = I, X = BA⁻¹. Cada fila de X es la fila de B correspondiente por A⁻¹. La primera, (1, 0, 1)·A⁻¹, es la suma de la primera y la tercera fila de A⁻¹: (0, −1, 1) + (1, 1, −1) = (1, 0, 0). Así, X tiene filas (1, 0, 0), (1, 1, 0) y (0, 1, 1). Comprueba al final que X·A da B.

    XA=B⟹(XA)A−1=BA−1⟹X=BA−1
    X=(101211320)(0−1102−111−1)=(100110011)

Errores típicos

  • Multiplicar por A⁻¹ por el lado que no toca

    El producto de matrices no es conmutativo: en XA = B la inversa va a la derecha, X = BA⁻¹, y en AX = B, a la izquierda, X = A⁻¹B. En el ejemplo, A⁻¹B tiene primera fila (1, 1, −1), distinta de la de X, y no cumple la ecuación. Tampoco se divide entre una matriz: B/A no dice por qué lado va la inversa y no tiene sentido.

  • Olvidar trasponer o el signo de algún adjunto

    (1/det A)·Adj A, sin trasponer, solo es la inversa si Adj A es simétrica: en el ejemplo tendría primera fila (0, 0, 1), y su producto por A no da I. En algunos libros la fórmula aparece como (1/det A)·Adj(Aᵗ), que da lo mismo, porque la matriz de adjuntos de la traspuesta es la traspuesta de la de adjuntos. Traspón una sola vez, repasa el tablero de signos y comprueba A·A⁻¹ = I.

  • Sacar factor común sin la identidad

    En AX + X = B, escribe X = IX antes de sacar factor común: AX + X = (A + I)X = B. No vale (A + 1)X, porque no se suma un número a una matriz, ni X(A + I), porque X queda a la derecha de A. Después, si det(A + I) ≠ 0, X = (A + I)⁻¹B, con la inversa por la izquierda.

Ejercicios reales de la PAU

5 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

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Otros conceptos

Preguntas frecuentes

¿Una matriz que no es cuadrada puede tener inversa?

No. Si A tiene m filas y n columnas, para que existan A·A⁻¹ y A⁻¹·A, A⁻¹ tiene que tener n filas y m columnas, y esos productos son matrices cuadradas de órdenes m y n: que los dos sean la identidad solo es posible si m = n. Además, el determinante solo está definido para matrices cuadradas. Por eso, antes de estudiar det A, mira el tamaño: el producto de dos matrices puede no ser cuadrado aunque una de ellas lo sea.

¿Es mejor calcular la inversa por adjuntos o por Gauss-Jordan?

Los dos caminos dan la misma matriz, porque la inversa es única. En Gauss-Jordan escribes juntas A y la identidad, (A | I), y haces operaciones elementales por filas (intercambiar dos, multiplicar una por un número distinto de cero o sumarle un múltiplo de otra) hasta tener la identidad a la izquierda: lo que queda a la derecha es A⁻¹. Si a la izquierda sale una fila de ceros, A no tiene inversa. Con un parámetro, en los adjuntos solo divides entre det A, cuyos ceros ya conoces; en Gauss-Jordan, dividir entre una expresión del parámetro obliga a estudiar aparte los valores que la anulan.

¿Hay una fórmula rápida para una matriz 2 × 2?

Sí, y es la de los adjuntos aplicada a ese caso. Si A tiene filas (a, b) y (c, d) y det A = ad − bc ≠ 0, A⁻¹ es (1/(ad − bc))·M, donde M tiene filas (d, −b) y (−c, a): intercambia los dos elementos de la diagonal principal, cambia de signo los otros dos y divide entre el determinante.

¿Cómo se despeja X en una ecuación matricial?

Multiplica los dos miembros por la misma inversa y por el mismo lado, porque el producto no es conmutativo. Si AX = B, por la izquierda: X = A⁻¹B. Si XA = B, por la derecha: X = BA⁻¹. Si AXC = B, por la izquierda con A⁻¹ y por la derecha con C⁻¹: X = A⁻¹BC⁻¹. Cada inversa que uses exige que esa matriz sea cuadrada y de determinante no nulo. Despeja X con letras y sustituye los números al final.

¿Qué propiedades de la inversa conviene saber?

Si A y B son cuadradas del mismo orden e invertibles, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹, con el orden cambiado, porque (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = I. Además, (A⁻¹)⁻¹ = A, (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ y det(A⁻¹) = 1/det A, que da el determinante de la inversa sin calcularla: en el ejemplo, det(A⁻¹) = 1/(−1) = −1.

¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?

Los 5 ejercicios resueltos de esta página: la 1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3 de la extraordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 4.2 del modelo de 2027 de Matemáticas II (Madrid) y la 1.1 del modelo de 2025 de Matemáticas II (Madrid). Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.

Fuente

Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.