PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria

Pregunta 3: ecuación matricial, determinantes e invertibilidad

Tema · Matrices
Concepto · Matriz inversa
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)X tiene filas (3/2, 0), (1/2, 0) y (−1, −1): es (A + I)⁻¹B, con I la identidad.
b1)det((2C)¹⁰⁰) = 2³⁰⁰ porque det(2C) = 8.
b2)A es invertible y AB no lo es: det(A) = 1 y AB es 3×2, no cuadrada.

Pregunta 3

PAU Madrid 2026 · ExtraordinariaÁlgebra2 puntos

Se consideran las matrices A, B y C. A se muestra en la tabla siguiente. La matriz B tiene, en este orden, las filas (2, −1), (1, 0) y (−1, −2). La matriz C tiene, en este orden, las filas (1, 0, 0), (−1, 1, 0) y (0, −1, 1).

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix})

a)Resuelva la ecuación matricial: AX + X = B. (1 p)
b)
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
1. b1)Calcule el determinante de la matriz (2C)¹⁰⁰ aplicando propiedades de los determinantes. (1 p)
2. b2)Justifique si las matrices A y AB son invertibles. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala3puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Expresión correcta para hallar X0,2
02a) Cálculo de la matriz inversa de A + I0,5
03a) Respuesta correcta0,3
04b1) Propiedad del determinante de un escalar por una matriz: enunciarla correctamente0,2
05b1) Propiedad del determinante de un escalar por una matriz: aplicarla correctamente0,2
06b1) Propiedad del determinante de la potencia de una matriz: enunciarla correctamente0,2
07b1) Propiedad del determinante de la potencia de una matriz: aplicarla correctamente0,1
08b1) Respuesta correcta0,3
09b2) Justificación para la matriz A0,5
10b2) Justificación para la matriz AB0,5

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · En a), ¿cómo sacas X factor común?

En a), escribe X = IX para sacar factor común y vigila el orden: en un producto de matrices no puedes pasar un factor de la izquierda a la derecha.

Pista 2 · En b), ¿qué propiedades vas a necesitar?

En el examen responde solo a b1) o a b2). Para b1) necesitas cómo afectan al determinante un escalar y una potencia; para b2), recuerda las dos condiciones para que una matriz tenga inversa.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Saca X factor común respetando el ordenTribunal: expresión correcta para hallar X0,2
A es 3×3 y B es 3×2, así que X tiene que ser 3×2 para que AX + X = B tenga sentido. Escribe X = IX, con I la identidad de orden 3, y saca X factor común por la derecha: AX + X = (A + I)X = B. Si A + I es invertible (lo compruebas en el paso siguiente), multiplica los dos miembros por (A + I)⁻¹ por la izquierda y queda X = (A + I)⁻¹B.
$A X + X = A X + I X = (A + I) X = B ⟹ X = {(A + I)}^{- 1} B$
Tribunal
Expresión correcta para hallar X: 0,2 puntos.
0,2de 2
02a · Calcula la inversa de A + ITribunal: cálculo de la matriz inversa de A + I0,5
A + I tiene filas (2, 0, 1), (0, 2, 0) y (0, 2, 2); desarrollando por la primera columna, det(A + I) = 2·(2·2 − 0·2) = 8 ≠ 0, así que tiene inversa. La matriz de adjuntos tiene filas (4, 0, 0), (2, 4, −4) y (−2, 0, 4); su traspuesta dividida entre 8 es la inversa, con filas (1/2, 1/4, −1/4), (0, 1/2, 0) y (0, −1/2, 1/2). También puedes obtenerla por Gauss-Jordan, resolviendo (A + I)Y = I. En cualquier caso, comprueba que (A + I) por la inversa da la identidad.
$A + I = (\begin{matrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}), \det (A + I) = 8$
${(A + I)}^{- 1} = \frac{1}{8} (\begin{matrix} 4 & 2 & - 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & - 4 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})$
Tribunal
Cálculo de la matriz inversa de A + I: 0,5 puntos.
0,5de 2
03a · Multiplica por B y comprueba el resultadoTribunal: respuesta correcta0,3
Multiplica (A + I)⁻¹, que es 3×3, por B, que es 3×2: sale la matriz X, de tamaño 3×2, con filas (3/2, 0), (1/2, 0) y (−1, −1). Por ejemplo, el primer elemento es (1/2)·2 + (1/4)·1 + (−1/4)·(−1) = 3/2. Para comprobarlo, calcula (A + I)X: sus filas son (2, −1), (1, 0) y (−1, −2), que coinciden con B.
$X = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 1 & 0 \\ - 1 & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 \\ - 1 & - 1 \end{matrix})$
Tribunal
Respuesta correcta: 0,3 puntos.
0,3de 2
04b1 · Enuncia y aplica las propiedades del escalar y de la potenciaTribunal: propiedad del determinante de un escalar por una matriz: enunciarla correctamente · propiedad del determinante de un escalar por una matriz: aplicarla correctamente · propiedad del determinante de la potencia de una matriz: enunciarla correctamente · propiedad del determinante de la potencia de una matriz: aplicarla correctamente · respuesta correcta1
Enuncia las dos propiedades: si M es cuadrada de orden n y k es un número, det(kM) = kⁿ·det(M); y para cualquier natural m, det(Mᵐ) = (det M)ᵐ. C es triangular inferior con diagonal 1, 1, 1, así que det(C) = 1. Como C es de orden 3, el escalar sale al cubo: det(2C) = 2³·det(C) = 8, no 2·det(C). Con la propiedad de la potencia, det((2C)¹⁰⁰) = (det(2C))¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 2³⁰⁰.
$\det (k M) = k^{n} \det (M), \det (M^{m}) = (\det M)^{m}$
$\det ((2 C)^{100}) = (\det (2 C))^{100} = (2^{3} \det C)^{100} = 8^{100} = 2^{300}$
Tribunal
Propiedad del determinante de un escalar por una matriz: 0,4 puntos (0,2 puntos por enunciarla correctamente, 0,2 puntos por aplicarla correctamente). Propiedad del determinante de la potencia de una matriz: 0,3 puntos (0,2 puntos por enunciarla correctamente, 0,1 puntos por aplicarla correctamente). Respuesta correcta: 0,3 puntos.
1de 2
05b2 · Justifica cada matriz por separadoTribunal: justificación para la matriz A · justificación para la matriz AB1
Una matriz es invertible si y solo si es cuadrada y su determinante no es cero. A es 3×3 y, desarrollando por la segunda fila, (0, 1, 0), solo cuenta el 1 central: det(A) = 1·(1·1 − 1·0) = 1 ≠ 0, así que A es invertible. AB es el producto de una 3×3 por una 3×2, luego es de tamaño 3×2: al no ser cuadrada, no tiene determinante ni inversa, y AB no es invertible. No hace falta calcular AB, y tampoco sirve det(A)·det(B), porque B no es cuadrada.
$\det (A) = | \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} | = 1 \cdot | \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 1 \neq 0$
$A_{3 \times 3} B_{3 \times 2} = {(A B)}_{3 \times 2}$
Tribunal
Justificación: 0,5 puntos por cada matriz.
1de 2

Error típico

Sacar X factor común por el lado equivocado

Lo que se suele escribir: ~~AX + X = X(A + I)~~. Lo correcto: AX + X = (A + I)X

En a) cuesta los puntos factorizar AX + X como A(X + I) o como X(A + I), o multiplicar B por la inversa a la derecha. X es 3×2: X + I no tiene sentido y X debe quedar a la derecha de A + I. Escribe X = IX, saca (A + I)X y multiplica por (A + I)⁻¹ por la izquierda: X = (A + I)⁻¹B, nunca B(A + I)⁻¹, que ni siquiera se puede calcular.

Cuesta los puntos de «expresión correcta para hallar X»: 0,2 puntos de 2.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.