PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria

Pregunta 5.2: integral por partes con un parámetro real

Tema · Integrales
Concepto · Integración por partes
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Opcional · 5.2 o 5.1
Solución verificada

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El valor pedido es a = −π/6. Por partes, con u = x − a y dv = sen(3x) dx, la integral vale π/9 − 2a/3; al igualarla a 2π/9 sale ese valor.

Pregunta 5.2

PAU Madrid 2026 · ExtraordinariaAnálisis2 puntos

Halle el valor real a tal que ∫₀^(π/3) (x − a) sen(3x) dx = 2π/9.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: cálculo correcto de la primitiva y uso de integración por partes.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01Uso de integración por partes0,5
02Cálculo correcto de la primitiva0,8
03Regla de Barrow0,4
04Ecuación para a0,2
05Cálculo del valor de a0,1

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Qué método de integración conviene?

Trata a como una constante y aplica integración por partes con u = x − a y dv = sen(3x) dx.

Pista 2 · ¿Qué vigilar al integrar y al aplicar Barrow?

Conserva el factor 1/3 cada vez que integres sen(3x) o cos(3x), y evalúa la primitiva en los dos extremos antes de igualar a 2π/9.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01Elige u y dv para integrar por partesTribunal: uso de integración por partes0,5
El integrando es un polinomio de grado 1 por un seno: el caso típico de integración por partes. Toma u = x − a, que se simplifica al derivarlo, y dv = sen(3x) dx. Como a es una constante, du = dx y v = −cos(3x)/3. La fórmula ∫u dv = uv − ∫v du da ∫(x − a) sen(3x) dx = −(x − a) cos(3x)/3 + (1/3) ∫cos(3x) dx.
$u = x - a, d u = d x, d v = sen (3 x) d x, v = - \frac{\cos (3 x)}{3}$
$\int (x - a) sen (3 x) d x = - \frac{(x - a) \cos (3 x)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 x) d x$
Tribunal
Uso de integración por partes: 0,5 puntos.
0,5de 2
02Completa la primitiva y compruébala derivandoTribunal: cálculo correcto de la primitiva0,8
Falta la integral de cos(3x), que es sen(3x)/3; multiplicada por 1/3 da sen(3x)/9. Una primitiva es F(x) = −(x − a) cos(3x)/3 + sen(3x)/9. Para asegurar signos y factores, derívala: el −cos(3x)/3 que sale de derivar x − a se cancela con el +cos(3x)/3 que sale de sen(3x)/9, y queda F′(x) = (x − a) sen(3x), el integrando.
$F (x) = - \frac{(x - a) \cos (3 x)}{3} + \frac{sen (3 x)}{9}$
Tribunal
Cálculo correcto de la primitiva: 0,8 puntos.
0,8de 2
03Aplica la regla de Barrow entre 0 y π/3Tribunal: regla de Barrow0,4
En x = π/3, cos(π) = −1 y sen(π) = 0, así que F(π/3) = (π/3 − a)/3 = π/9 − a/3. En x = 0, cos(0) = 1 y sen(0) = 0, pero el primer término no se anula: F(0) = a/3. La integral definida vale F(π/3) − F(0) = π/9 − 2a/3.
$\int_{0}^{π / 3} (x - a) sen (3 x) d x = [F (x)]_{0}^{π / 3} = (\frac{π}{9} - \frac{a}{3}) - \frac{a}{3} = \frac{π}{9} - \frac{2 a}{3}$
Tribunal
Regla de Barrow: 0,4 puntos.
0,4de 2
04Plantea la ecuación para a y despéjalaTribunal: ecuación para a · cálculo del valor de a0,3
Iguala la integral al dato del enunciado: π/9 − 2a/3 = 2π/9. Al restar π/9 queda −2a/3 = π/9, y al multiplicar por −3/2 se obtiene a = −π/6. Comprueba sustituyendo: π/9 − 2(−π/6)/3 = π/9 + π/9 = 2π/9, como pide el enunciado.
$\frac{π}{9} - \frac{2 a}{3} = \frac{2 π}{9} ⟹ - \frac{2 a}{3} = \frac{π}{9} ⟹ a = - \frac{π}{6}$
Tribunal
Ecuación para a: 0,2 puntos. Cálculo del valor de a: 0,1 puntos.
0,3de 2

Error típico

Dar por hecho que la primitiva vale 0 en x = 0

Lo que se suele escribir: ~~F(0) = 0~~. Lo correcto: F(0) = a/3

Al aplicar Barrow es fácil dar por hecho que la primitiva vale 0 en x = 0, porque sen(0) = 0. Pero el término −(x − a) cos(3x)/3 vale a/3 en ese extremo; si lo olvidas, la integral queda π/9 − a/3 y llegas al valor erróneo −π/3. Evalúa siempre la primitiva completa en los dos extremos antes de restar.

Cuesta los puntos de «regla de Barrow»: 0,4 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.