PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 4.1: rectas secantes y construcción de un triángulo rectángulo
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- a)r₁ y r₂ son secantes y se cortan en (2, 1, 0): sus directores no son proporcionales y las dos están en z = 0.
- b)r₃ ≡ (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 0), con λ ∈ ℝ, perpendicular a r₁; también vale (x, y, z) = (3, 2, 0) + λ(0, 1, 0).
Pregunta 4.1
Sean las rectas r₁ ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1, 0) y r₂ ≡ (x, y, z) = (1 + s, s, 0), t, s ∈ ℝ.
- a)Estudie la posición relativa de las rectas r₁ y r₂. (1 p)
- b)Halle una recta r₃ tal que las intersecciones de r₁, r₂ y r₃ formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en r₂ y tenga longitud √2. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Obtención de los vectores directores de r₁ y r₂0,2
- 02a) Independencia lineal de los mismos0,2
- 03a) Determinación de un vector a partir de un punto de cada recta0,2
- 04a) Estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores0,2
- 05a) Respuesta correcta0,2
- 06b) Punto de corte de r₁ y r₂0,2
- 07b) Determinación del vector director de r₃0,4
- 08b) Condición de √20,2
- 09b) Respuesta correcta: una recta0,2
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · En a), ¿qué vectores comparas?
En a), compara los vectores directores y, si no son paralelos, estudia el rango de la matriz que forman junto con un vector que una un punto de cada recta.
Pista 2 · En b), ¿qué rectas forman el ángulo recto?
En b), la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto: si está en r₂, ¿qué dos rectas forman el ángulo recto? Empieza por el punto de corte de r₁ y r₂.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Lee los vectores directores y comprueba que son independientesTribunal: obtención de los vectores directores de r₁ y r₂ · independencia lineal de los mismos0,4
En unas ecuaciones paramétricas, el vector director lo forman los coeficientes del parámetro: v₁ = (1, 0, 0) para r₁ y v₂ = (1, 1, 0) para r₂. No son proporcionales: la segunda coordenada es 0 en v₁ y 1 en v₂, así que ningún número k cumple v₂ = k·v₁. Son linealmente independientes, de modo que las rectas no son paralelas ni coincidentes: solo pueden ser secantes o cruzarse.
02a · Forma un vector con un punto de cada rectaTribunal: determinación de un vector a partir de un punto de cada recta0,2
Da el valor 0 a cada parámetro: t = 0 da U = (1, 1, 0) ∈ r₁ y s = 0 da V = (1, 0, 0) ∈ r₂. El vector que los une es UV = V − U = (0, −1, 0). Es el que decide si las dos rectas están en un mismo plano.
03a · Estudia el rango de la matriz de los tres vectores y concluyeTribunal: estudio del rango de la matriz formada por los tres vectores · respuesta correcta0,4
Coloca v₁, v₂ y UV como filas de una matriz 3×3. Su determinante es 0, porque la tercera columna es nula, y el menor de las dos primeras filas y columnas vale 1·1 − 0·1 = 1 ≠ 0: el rango es 2. Así, rango{v₁, v₂} = 2 y rango{v₁, v₂, UV} = 2. Las rectas son coplanarias y no paralelas: r₁ y r₂ son secantes.
04b · Calcula el punto de corte de r₁ y r₂Tribunal: punto de corte de r₁ y r₂0,2
Iguala los puntos genéricos de las dos rectas: (1 + t, 1, 0) = (1 + s, s, 0). La segunda coordenada da s = 1 y la primera, 1 + t = 2, es decir, t = 1. El punto de corte es Q = (2, 1, 0): será el vértice del triángulo que comparten los lados contenidos en r₁ y en r₂.
05b · Elige el vector director de r₃ perpendicular a r₁Tribunal: determinación del vector director de r₃0,4
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Si está en r₂, los catetos están en r₁ y en r₃, y el ángulo recto es el que forman esas dos rectas: r₃ tiene que ser perpendicular a r₁. Además, para cortar a r₁ y a r₂ en dos puntos distintos y cerrar el triángulo, r₃ debe estar en el plano z = 0 que las contiene. Busca v₃ = (a, b, 0) con v₁ · v₃ = a = 0: sirve v₃ = (0, 1, 0) o cualquier múltiplo no nulo suyo.
06b · Impón que la hipotenusa mida √2Tribunal: condición de √20,2
El tercer vértice R está en r₂, así que R = (1 + s, s, 0). La hipotenusa es QR y su longitud al cuadrado es (s − 1)² + (s − 1)² = 2(s − 1)². Igualarla a (√2)² = 2 da (s − 1)² = 1, es decir, s = 0 o s = 2. Hay dos vértices posibles: R = (1, 0, 0) y R = (3, 2, 0).
07b · Escribe una recta r₃ y comprueba el triánguloTribunal: respuesta correcta: una recta0,2
Con R = (1, 0, 0) y la dirección (0, 1, 0) se obtiene r₃ ≡ (x, y, z) = (1, 0, 0) + λ(0, 1, 0), λ ∈ ℝ, es decir, la recta x = 1, z = 0. Corta a r₁ en S = (1, 1, 0). Comprueba: SQ = (1, 0, 0) y SR = (0, −1, 0) son perpendiculares, y la hipotenusa QR mide √2 y está contenida en r₂. Con el otro vértice sale la segunda recta válida, (x, y, z) = (3, 2, 0) + λ(0, 1, 0), es decir, x = 3, z = 0; basta con dar una de las dos.
Error típico
Hacer r₃ perpendicular a la recta de la hipotenusa
Lo que se suele escribir: r₃ ⊥ r₂. Lo correcto: r₃ ⊥ r₁
Es fácil imponer que r₃ sea perpendicular a r₂, la recta de la hipotenusa. Pero el ángulo recto es el opuesto a la hipotenusa y lo forman los catetos, que están en r₁ y en r₃: la condición es v₁ · v₃ = 0. Decide primero qué rectas llevan los catetos y, después de elegir la dirección, comprueba que r₃ corta a r₂ a distancia √2 del punto de corte de r₁ y r₂.
Cuesta los puntos de «determinación del vector director de r₃»: 0,4 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.