PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria

Pregunta 1: puntualidad, probabilidad total y teorema de Bayes

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a)El 8 % de los alumnos llega tarde: por la probabilidad total, 0,85·0,05 + 0,15·0,25 = 0,08.
b)45/368 ≈ 0,1223 es la probabilidad de que viva fuera si ha llegado puntual: por Bayes, 0,15·0,75/0,92.

Pregunta 1

PAU Madrid 2026 · ExtraordinariaProbabilidad2 puntos

El 85 % de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 % de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 % de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.

a)Calcule el porcentaje de alumnos del instituto que llegan tarde a primera hora. (1 p)
b)Se elige un alumno del centro al azar. Halle la probabilidad de que sea de un pueblo de alrededor si se sabe que ha llegado puntual a clase por la mañana. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Obtención de la probabilidad condicionada para alumnos de la misma localidad a partir del porcentaje dado0,1
02a) Obtención de la probabilidad condicionada para alumnos de pueblos de alrededor a partir del porcentaje dado0,1
03a) Utilización del teorema de la probabilidad total0,2
04a) P(Lᶜ ∩ Pᶜ)0,2
05a) P(L ∩ Pᶜ)0,2
06a) Probabilidad correcta0,1
07a) Porcentaje correcto0,1
08b) Identificación del suceso0,2
09b) Cálculo de la probabilidad0,4
10b) Resolución0,4

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo ordenas los datos del enunciado?

Llama L a «vivir en la localidad» y P a «llegar puntual», y dibuja un árbol: primero el lugar de residencia y después la puntualidad.

Pista 2 · En b), ¿qué suceso va detrás de la barra?

En b) se sabe que el alumno ha llegado puntual: ese suceso va detrás de la barra, y su probabilidad sale del complemento de lo que has calculado en a).

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Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Traduce los porcentajes a probabilidades condicionadasTribunal: obtención de la probabilidad condicionada para alumnos de la misma localidad a partir del porcentaje dado · obtención de la probabilidad condicionada para alumnos de pueblos de alrededor a partir del porcentaje dado0,2
Llama L al suceso «vivir en la misma localidad que el instituto» y P a «llegar puntual»; así, P(L) = 0,85 y P(Lᶜ) = 0,15. El 5 % de los alumnos de la localidad llega tarde, luego P(Pᶜ | L) = 0,05. El 75 % de los de fuera llega puntual, luego P(P | Lᶜ) = 0,75 y, por complemento, P(Pᶜ | Lᶜ) = 1 − 0,75 = 0,25. Son condicionadas porque cada porcentaje se refiere a un solo grupo de alumnos, no al total del instituto.
Tribunal
Obtención de las dos probabilidades condicionadas a partir de los porcentajes dados: 0,1 puntos cada una.
0,2de 2
02a · Plantea el teorema de la probabilidad totalTribunal: utilización del teorema de la probabilidad total0,2
Un alumno puede llegar tarde de dos formas incompatibles: viviendo en la localidad o viviendo fuera. Como L y Lᶜ forman una partición del instituto, el teorema de la probabilidad total da P(Pᶜ) = P(L)·P(Pᶜ | L) + P(Lᶜ)·P(Pᶜ | Lᶜ). Un diagrama de árbol, con el lugar de residencia en la primera rama y la puntualidad en la segunda, lo deja a la vista: cada sumando es el producto de las probabilidades de un camino.
$P (P^{c}) = P (L) P (P^{c} | L) + P (L^{c}) P (P^{c} | L^{c})$
Tribunal
Utilización del teorema de la probabilidad total: 0,2 puntos.
0,2de 2
03a · Calcula las dos formas de llegar tardeTribunal: p(Lᶜ ∩ Pᶜ) · p(L ∩ Pᶜ)0,4
Cada sumando es la probabilidad de una intersección. Vivir fuera y llegar tarde: P(Lᶜ ∩ Pᶜ) = P(Lᶜ)·P(Pᶜ | Lᶜ) = 0,15·0,25 = 0,0375. Vivir en la localidad y llegar tarde: P(L ∩ Pᶜ) = P(L)·P(Pᶜ | L) = 0,85·0,05 = 0,0425. Multiplica siempre por la probabilidad del grupo: 0,25 y 0,05 por separado no son intersecciones.
$P (L^{c} \cap P^{c}) = 0,15 \cdot 0,25 = 0,0375$
$P (L \cap P^{c}) = 0,85 \cdot 0,05 = 0,0425$
Tribunal
P(Lᶜ ∩ Pᶜ): 0,2 puntos. P(L ∩ Pᶜ): 0,2 puntos.
0,4de 2
04a · Suma y expresa el resultado en porcentajeTribunal: probabilidad correcta · porcentaje correcto0,2
Suma las dos intersecciones: P(Pᶜ) = 0,0375 + 0,0425 = 0,08. Multiplicado por 100, el 8 % de los alumnos llega tarde a primera hora. Apunta también el complemento, P(P) = 1 − 0,08 = 0,92: es el denominador que vas a necesitar en b).
$P (P^{c}) = 0,0375 + 0,0425 = 0,08, P (P) = 1 - 0,08 = 0,92$
Tribunal
Probabilidad correcta: 0,1 puntos. Porcentaje correcto: 0,1 puntos.
0,2de 2
05b · Identifica la probabilidad que se pideTribunal: identificación del suceso0,2
El dato conocido es que el alumno ha llegado puntual, y lo que se pregunta es si vive en un pueblo de alrededor. Por tanto se pide P(Lᶜ | P): el condicionante, lo que va detrás de la barra, es P. No es P(P | Lᶜ) = 0,75, que responde a otra pregunta: qué proporción de los alumnos de fuera llega puntual.
Tribunal
Identificación del suceso: 0,2 puntos.
0,2de 2
06b · Plantea el teorema de BayesTribunal: cálculo de la probabilidad0,4
Aplica la definición de probabilidad condicionada, que aquí es el teorema de Bayes: P(Lᶜ | P) = P(Lᶜ ∩ P)/P(P). El numerador sale del árbol: P(Lᶜ ∩ P) = P(Lᶜ)·P(P | Lᶜ) = 0,15·0,75 = 0,1125. El denominador es la probabilidad total de llegar puntual, P(P) = 0,92, que reúne a los puntuales de la localidad (0,85·0,95 = 0,8075) y a los de fuera (0,1125).
$P (L^{c} | P) = \frac{P (L^{c}) P (P | L^{c})}{P (P)} = \frac{0,15 \cdot 0,75}{0,92}$
Tribunal
Cálculo de la probabilidad: 0,4 puntos.
0,4de 2
07b · Resuelve el cocienteTribunal: resolución0,4
Divide: P(Lᶜ | P) = 0,1125/0,92 = 1125/9200. Al simplificar entre 25 queda 45/368 ≈ 0,1223: algo más del 12 % de los alumnos puntuales vive fuera de la localidad. Si en a) te ha salido otro valor de P(Pᶜ), b) se puntúa con el P(P) que se deduce de él, así que plantea b) igualmente.
$P (L^{c} | P) = \frac{0,1125}{0,92} = \frac{1125}{9200} = \frac{45}{368} \approx 0,1223$
Tribunal
Resolución: 0,4 puntos. (Si el valor hallado en a) es erróneo, las calificaciones se otorgan en b) para dicho valor).
0,4de 2

Error típico

Leer al revés la condición en b)

Lo que se suele escribir: ~~P(Lᶜ | P) = 0,75~~. Lo correcto: P(Lᶜ | P) = 0,1125/0,92

En b) es fácil leer la condición al revés y responder P(P | Lᶜ) = 0,75, o quedarse en el numerador, P(Lᶜ ∩ P) = 0,1125. Lo que se sabe es que el alumno ha llegado puntual, así que se pide P(Lᶜ | P) y hay que dividir entre P(P) = 0,92, que reúne a todos los puntuales. Escribe primero el suceso con la barra en su sitio y después sustituye.

Cuesta los puntos de «identificación del suceso»: 0,2 puntos de 2.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.