PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria
Pregunta 5.1: dominio, monotonía y mínimo relativo de x/ln(x)
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Con dominio (0, 1) ∪ (1, +∞), f decrece en (0, 1) y en (1, e), crece en (e, +∞) y tiene un mínimo relativo en (e, e); no tiene máximos relativos. Su derivada, f′(x) = (ln x − 1)/(ln x)², solo se anula en x = e y pasa de negativa a positiva.
Pregunta 5.1
Sea la función f(x) = x/ln(x). Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01Estudio del dominio de definición0,4
- 02Cálculo de la derivada0,4
- 03Obtención del punto crítico que anula la derivada0,4
- 04Utilización de x = 1 para determinar los intervalos0,1
- 05Determinación correcta del intervalo de decrecimiento (0, 1)0,1
- 06Determinación correcta del intervalo de decrecimiento (1, e)0,1
- 07Determinación correcta del intervalo de crecimiento (e, +∞)0,1
- 08Identificación del mínimo relativo: justificación0,2
- 09Identificación del mínimo relativo: abscisa0,1
- 10Identificación del mínimo relativo: ordenada0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde está definida la función?
Antes de derivar, piensa dónde existe ln(x) y dónde se anula: está en el denominador.
Pista 2 · ¿Por qué puntos se divide el dominio?
Al estudiar el signo de f′, separa el dominio por los puntos críticos y también por los puntos que no pertenecen a él.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01Estudia el dominio de definiciónTribunal: estudio del dominio de definición0,4
La función tiene dos restricciones. El logaritmo solo existe para x > 0. Además, ln(x) está en el denominador y se anula en x = 1, así que ese punto queda fuera. El dominio es (0, 1) ∪ (1, +∞).
02Calcula la derivada con la regla del cocienteTribunal: cálculo de la derivada0,4
Aplica (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² con u = x y v = ln(x), de modo que u′ = 1 y v′ = 1/x. Queda f′(x) = [1·ln(x) − x·(1/x)] / [ln(x)]² = [ln(x) − 1] / [ln(x)]², válida en todo el dominio.
03Anula la derivada para hallar el punto críticoTribunal: obtención del punto crítico que anula la derivada0,4
Un cociente vale 0 cuando se anula el numerador y no el denominador. El denominador (ln x)² no se anula en el dominio, y el numerador cumple ln(x) − 1 = 0 si y solo si ln(x) = 1, es decir, x = e. Como e ≈ 2,72 pertenece a (1, +∞), x = e es el único punto crítico.
04Usa x = 1 para separar los intervalosTribunal: utilización de x = 1 para determinar los intervalos0,1
x = 1 no anula la derivada, pero no pertenece al dominio y la función se rompe allí: f(x) → −∞ por la izquierda y f(x) → +∞ por la derecha. Por eso entra en la tabla de signos junto con x = e, y el dominio queda dividido en tres intervalos: (0, 1), (1, e) y (e, +∞). No puedes juntar los dos primeros: f(1/2) ≈ −0,72 es menor que f(2) ≈ 2,89, así que f no decrece en el conjunto (0, 1) ∪ (1, e).
05Determina el signo de la derivada en cada intervaloTribunal: determinación correcta del intervalo de decrecimiento (0, 1) · determinación correcta del intervalo de decrecimiento (1, e) · determinación correcta del intervalo de crecimiento (e, +∞)0,3
El denominador (ln x)² es positivo en todo el dominio, así que el signo de f′ es el de ln(x) − 1. En (0, 1), ln(x) < 0, luego f′ < 0 y f decrece. En (1, e), 0 < ln(x) < 1, luego f′ < 0 y f también decrece. En (e, +∞), ln(x) > 1, luego f′ > 0 y f crece. Lo confirman los valores de prueba f′(1/e) = −2, f′(2) ≈ −0,64 y f′(e²) = 1/4.
06Justifica el mínimo relativo y calcula sus coordenadasTribunal: identificación del mínimo relativo: justificación · identificación del mínimo relativo: abscisa · identificación del mínimo relativo: ordenada0,4
f es continua en x = e y su derivada pasa de negativa a positiva: f decrece justo antes y crece justo después, así que en x = e hay un mínimo relativo. Su abscisa es x = e y su ordenada, f(e) = e/ln(e) = e/1 = e: el mínimo relativo está en (e, e). No hay máximos relativos, porque f′ nunca pasa de positiva a negativa (en x = 1 no puede haber extremo: no es del dominio). El mínimo es relativo, no absoluto: f toma valores menores, como f(1/2) ≈ −0,72, y f(x) → −∞ cuando x → 1 por la izquierda.
Error típico
Olvidar en la tabla de signos el punto fuera del dominio
Lo que se suele escribir: f decrece en (0, e). Lo correcto: f decrece en (0, 1) y en (1, e)
Lo más habitual es fijarse solo en el cero de la derivada, x = e, y escribir que f decrece en (0, e). Pero x = 1 no está en el dominio y allí f tiende a −∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha: los intervalos de decrecimiento son (0, 1) y (1, e), por separado. Pon siempre en la tabla de signos los puntos que no son del dominio. Por la misma razón, el mínimo en x = e es relativo y no absoluto.
Cuesta los puntos de «utilización de x = 1 para determinar los intervalos»: 0,1 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.1 o la 5.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.