PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 5.2: monotonía de una función racional y tangentes de pendiente 1
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- a)f es creciente en (−∞, 1) y en (1, +∞) y no decrece en ningún intervalo, porque f′(x) = 1/(x − 1)² > 0.
- b)Los puntos son (0, −1) y (2, −3), donde f′(x) = 1, es decir, (x − 1)² = 1.
Pregunta 5.2
Sea f(x) = (−2x + 1)/(x − 1).
- a)Halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x). (1 p)
- b)Halle, si existen, los puntos de la gráfica de f(x) cuya recta tangente tenga pendiente 1. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo de la derivada0,4
- 02a) Identificación del signo siempre positivo0,2
- 03a) Intervalo de crecimiento (−∞, 1)0,2
- 04a) Intervalo de crecimiento (1, +∞)0,2
- 05b) Ecuación bien planteada0,4
- 06b) Valor correcto x = 00,2
- 07b) Valor correcto x = 20,2
- 08b) Punto de la gráfica (0, −1)0,1
- 09b) Punto de la gráfica (2, −3)0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde se parte el estudio de la monotonía?
El dominio excluye x = 1. Simplifica bien la derivada: su signo decide la monotonía a cada lado de x = 1.
Pista 2 · ¿Qué representa la pendiente de la tangente?
En b), la pendiente de la tangente es f′(x): iguálala a 1 y no olvides calcular la ordenada.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula la derivada con la regla del cocienteTribunal: cálculo de la derivada0,4
El dominio es ℝ∖{1}, porque el denominador se anula en x = 1. Por la regla del cociente: f′(x) = [−2(x − 1) − (−2x + 1)·1]/(x − 1)² = (−2x + 2 + 2x − 1)/(x − 1)² = 1/(x − 1)². Simplifica el numerador hasta el final: los términos en x se cancelan y queda una constante.
02a · Justifica que f′(x) es siempre positivaTribunal: identificación del signo siempre positivo0,2
El numerador es 1 y el denominador es un cuadrado que no se anula en el dominio, así que f′(x) > 0 para todo x ≠ 1: la derivada nunca se anula y siempre es positiva. No hay puntos críticos, y por tanto tampoco máximos ni mínimos relativos.
03a · Da los dos intervalos de crecimiento por separadoTribunal: intervalo de crecimiento (−∞, 1) · intervalo de crecimiento (1, +∞)0,4
Como f′ > 0 a cada lado de x = 1, f es creciente en (−∞, 1) y en (1, +∞), y no tiene intervalos de decrecimiento. Ojo: no puede decirse que sea creciente en ℝ∖{1} como un todo, porque f(0) = −1 es mayor que f(2) = −3; la asíntota vertical x = 1 separa las dos ramas. Por eso los dos intervalos se dan por separado.
04b · Plantea la ecuación f′(x) = 1Tribunal: ecuación bien planteada0,4
La pendiente de la recta tangente en el punto de abscisa x es f′(x). Pedir pendiente 1 es plantear f′(x) = 1, es decir, 1/(x − 1)² = 1, que equivale a (x − 1)² = 1 para x ≠ 1.
05b · Resuelve la ecuación y obtén los dos valores de xTribunal: valor correcto x = 0 · valor correcto x = 20,4
(x − 1)² = 1 da x − 1 = 1 o x − 1 = −1; desarrollando, es lo mismo que x² − 2x = 0. Las soluciones son x = 0 y x = 2, y las dos pertenecen al dominio. El doble signo afecta a x − 1, no a x: si solo tomas x − 1 = 1, pierdes x = 0.
06b · Calcula la ordenada de cada puntoTribunal: punto de la gráfica (0, −1) · punto de la gráfica (2, −3)0,2
Se piden puntos de la gráfica, no solo abscisas: sustituye en f, no en f′. f(0) = 1/(−1) = −1 y f(2) = (−4 + 1)/1 = −3. Los puntos son (0, −1) y (2, −3).
Error típico
Juntar los intervalos de crecimiento a través de x = 1
Lo que se suele escribir: f creciente en (−∞, +∞). Lo correcto: f creciente en (−∞, 1) y en (1, +∞)
Responder «f es creciente en ℝ» o juntar los dos intervalos en uno que atraviesa x = 1. La función no está definida en x = 1 y no crece en el conjunto entero: f(0) = −1 es mayor que f(2) = −3. Estudia el signo de f′ a cada lado de la asíntota y da los dos intervalos por separado, (−∞, 1) y (1, +∞): cada uno vale 0,2 puntos.
Cuesta los puntos de «intervalo de crecimiento (−∞, 1)»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.