PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 3: tres líneas de autobús independientes
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- a)La probabilidad de llegar a tiempo es 73/75 ≈ 0,973: 1 − (1/3)(1/5)(2/5).
- b1)1/5 = 0,2, la misma que sin condición, por la independencia.
- b2)34/75 ≈ 0,453, sumando los tres casos de exactamente dos líneas.
Pregunta 3
Para llegar a tiempo a primera hora al instituto, Ana debe coger a las ocho de la mañana una de las tres líneas, L1, L2 o L3, que parten de la estación de autobuses y tienen parada cerca del instituto. Las probabilidades de poder coger los autobuses a las ocho de la mañana en esta estación son de 2/3 para L1, 4/5 para L2 y 3/5 para L3. Estos tres sucesos son independientes. Si Ana está a las 8 de la mañana en la estación de autobuses, se pide:
- a)Calcular la probabilidad de que Ana llegue a tiempo a primera hora a su instituto. (1 p)
- b)Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
- b1)Calcular la probabilidad de que no pueda coger la línea L2 sabiendo que solo puede coger una de las otras dos líneas. (1 p)
- b2)Calcular la probabilidad de que pueda coger exactamente dos de las tres líneas. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Identificación del suceso0,3
- 02a) Planteamiento del cálculo de la probabilidad0,3
- 03a) Resolución0,4
- 04b1) Identificación del suceso0,3
- 05b1) Planteamiento del cálculo de la probabilidad0,3
- 06b1) Resolución0,4
- 07b2) Identificación del suceso0,3
- 08b2) Planteamiento del cálculo de la probabilidad0,3
- 09b2) Resolución0,4
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué es exactamente llegar a tiempo?
Llama Aᵢ a «poder coger la línea Li» y trabaja con complementarios: llegar a tiempo es coger al menos una línea.
Pista 2 · ¿Qué aporta la independencia en b1) y b2)?
En b1), la condición habla solo de L1 y L3: piensa qué te dice sobre L2 si los sucesos son independientes. En b2), separa los casos según la línea que no puede coger.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula «al menos una línea» con el complementarioTribunal: identificación del suceso · planteamiento del cálculo de la probabilidad · resolución1
Llama Aᵢ al suceso «poder coger la línea Li a las 8:00», con i = 1, 2, 3: P(A₁) = 2/3, P(A₂) = 4/5 y P(A₃) = 3/5, y sus complementarios valen 1/3, 1/5 y 2/5. Ana llega a tiempo si puede coger al menos una línea, así que el suceso es A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ (no A₁ ∩ A₂ ∩ A₃: no necesita las tres). Su contrario es no poder coger ninguna, A₁ᶜ ∩ A₂ᶜ ∩ A₃ᶜ, y por la independencia su probabilidad es el producto (1/3)(1/5)(2/5) = 2/75. Por tanto, P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃) = 1 − 2/75 = 73/75 ≈ 0,9733.
02b1 · Identifica la condición y usa la independenciaTribunal: identificación del suceso · planteamiento del cálculo de la probabilidad · resolución1
Es alternativa a b2: en el examen respondes solo uno de los dos. «Solo puede coger una de las otras dos» habla de L1 y L3: la condición es U = (A₁ ∩ A₃ᶜ) ∪ (A₁ᶜ ∩ A₃), exactamente una de ellas, sin imponer nada sobre L2, y se pide P(A₂ᶜ | U) = P(A₂ᶜ ∩ U)/P(U). U es una unión de sucesos incompatibles, P(U) = (2/3)(2/5) + (1/3)(3/5) = 4/15 + 3/15 = 7/15, y como los tres sucesos son mutuamente independientes, A₂ᶜ es independiente de U, que solo depende de A₁ y A₃: P(A₂ᶜ ∩ U) = (1/5)(7/15) = 7/75. Por tanto, P(A₂ᶜ | U) = (7/75)/(7/15) = 1/5 = 0,2. Coincide con P(A₂ᶜ): con sucesos independientes, saber qué pasa con L1 y L3 no informa sobre L2.
03b2 · Separa los tres casos de «exactamente dos» y súmalosTribunal: identificación del suceso · planteamiento del cálculo de la probabilidad · resolución1
Es la alternativa a b1. «Exactamente dos» significa poder coger dos líneas y no la tercera; según cuál falle, hay tres casos incompatibles: (A₁ᶜ ∩ A₂ ∩ A₃) ∪ (A₁ ∩ A₂ᶜ ∩ A₃) ∪ (A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ᶜ). Por ser incompatibles, la probabilidad es la suma, y por la independencia cada término es un producto: (1/3)(4/5)(3/5) = 12/75, (2/3)(1/5)(3/5) = 6/75 y (2/3)(4/5)(2/5) = 16/75. En total, 12/75 + 6/75 + 16/75 = 34/75 ≈ 0,4533.
Error típico
Sumar las tres probabilidades para «al menos una»
Lo que se suele escribir: P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃) = 2/3 + 4/5 + 3/5. Lo correcto: P(A₁ ∪ A₂ ∪ A₃) = 1 − (1/3)(1/5)(2/5)
Sumar 2/3 + 4/5 + 3/5 para «al menos una línea»: da más de 1, porque los sucesos no son incompatibles y Ana puede coger varias líneas a la vez. La suma directa solo vale para sucesos incompatibles. Con sucesos independientes, el camino corto es el contrario: 1 − P(ninguna), y P(ninguna) es el producto de los complementarios.
Cuesta los puntos de «planteamiento del cálculo de la probabilidad»: 0,3 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.