PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 2: asíntotas horizontales e integral de una función exponencial
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- a)Asíntotas horizontales y = 1 cuando x → +∞ e y = −1 cuando x → −∞, porque eˣ → +∞ en un extremo y eˣ → 0 en el otro.
- b)La integral vale 2 ln 2 ≈ 1,386: f(x) + 1 = 2eˣ/(eˣ + 1), cuya primitiva, 2 ln(eˣ + 1), se evalúa entre 0 y ln 3.
Pregunta 2
Sea la función f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1).
- a)Halle las asíntotas horizontales de f(x). (1 p)
- b)Halle ∫₀^(ln 3) (f(x) + 1) dx. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Límite cuando x → +∞: planteamiento0,2
- 02a) Límite cuando x → +∞: resolución0,3
- 03a) Límite cuando x → −∞: planteamiento0,2
- 04a) Límite cuando x → −∞: resolución0,3
- 05b) Integral a calcular0,1
- 06b) Primitiva0,5
- 07b) Regla de Barrow0,3
- 08b) Respuesta correcta0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Qué extremos hay que estudiar?
Estudia los dos extremos: para x → +∞ divide numerador y denominador entre eˣ; para x → −∞ recuerda que eˣ → 0.
Pista 2 · ¿Cómo preparar f(x) + 1 para integrar?
En b), junta f(x) + 1 en una sola fracción antes de integrar: fíjate en la relación entre el numerador y la derivada del denominador.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el límite cuando x → +∞Tribunal: límite cuando x → +∞: planteamiento · límite cuando x → +∞: resolución0,5
Una asíntota horizontal y = k aparece cuando f(x) → k al tender x a +∞ o a −∞, así que hay que estudiar los dos límites. Cuando x → +∞, numerador y denominador tienden a infinito: divide ambos entre eˣ y queda f(x) = (1 − e⁻ˣ)/(1 + e⁻ˣ). Como e⁻ˣ → 0, el límite es (1 − 0)/(1 + 0) = 1, así que y = 1 es asíntota horizontal por la derecha.
02a · Calcula el límite cuando x → −∞Tribunal: límite cuando x → −∞: planteamiento · límite cuando x → −∞: resolución0,5
Aquí no hay indeterminación: cuando x → −∞, eˣ → 0, así que f(x) → (0 − 1)/(0 + 1) = −1. Hay otra asíntota horizontal, y = −1, por la izquierda. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas, una en cada extremo: con exponenciales pasa a menudo, así que no des por hecho que el límite en −∞ es el mismo que en +∞.
03b · Simplifica el integrando y halla una primitivaTribunal: integral a calcular · primitiva0,6
Se integra f(x) + 1, no solo f(x): júntalo en una sola fracción, f(x) + 1 = (eˣ − 1 + eˣ + 1)/(eˣ + 1) = 2eˣ/(eˣ + 1), y la integral a calcular es ∫₀^(ln 3) 2eˣ/(eˣ + 1) dx. El numerador es el doble de la derivada del denominador: es una integral inmediata de tipo logarítmico, ∫ 2eˣ/(eˣ + 1) dx = 2 ln(eˣ + 1) + K. Como eˣ + 1 > 0, no hace falta valor absoluto.
04b · Aplica la regla de Barrow entre 0 y ln 3Tribunal: regla de Barrow · respuesta correcta0,4
Evalúa la primitiva en los dos extremos: en x = ln 3, e^(ln 3) = 3 (no ln 3) y queda 2 ln 4; en x = 0, e⁰ = 1 y queda 2 ln 2, que no es cero. La integral vale 2 ln 4 − 2 ln 2 = 2 ln 2 ≈ 1,3863. Sale positiva, como corresponde a un integrando positivo: f(x) + 1 > 0 para todo x.
Error típico
Estudiar solo x → +∞ y olvidar la asíntota en −∞
Lo que se suele escribir: Única asíntota horizontal: y = 1. Lo correcto: y = 1 en +∞ e y = −1 en −∞
Estudiar solo x → +∞ y dar únicamente la asíntota y = 1. Con exponenciales, los dos extremos se comportan distinto: en −∞, eˣ tiende a 0, no a infinito, y el límite es −1. Si das una sola asíntota, pierdes los 0,5 puntos del otro límite: calcula siempre los dos por separado.
Cuesta los puntos de «límite cuando x → −∞: planteamiento»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.