PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 4.2: invertibilidad de una potencia y cálculo de A⁹
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- a)A²⁰²⁶ es invertible si y solo si a ≠ 0, a ≠ √2 y a ≠ −√2, porque det(A²⁰²⁶) = (det A)²⁰²⁶ y det A = a(a² − 2).
- b)Con a = 0, A³ = 2A y A⁹ = 16A, con filas (0, 16, 0), (16, 0, 16) y (0, 16, 0), porque (A³)³ = (2A)³ = 8A³.
Pregunta 4.2
Se considera la matriz A de la tabla siguiente, donde a es un número real.
- a)Determine para qué valores de a la matriz A²⁰²⁶ es invertible. (1 p)
- b)Para a = 0, pruebe que A³ = 2A y calcule la matriz A⁹. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Cálculo del determinante de A0,3
- 02a) Determinación del valor a = 00,1
- 03a) Determinación del valor a = √20,1
- 04a) Determinación del valor a = −√20,1
- 05a) Argumentación de que la potencia es invertible0,4
- 06b) Comprobación de la igualdad A³ = 2A0,4
- 07b) Intento de utilizar la igualdad para calcular A⁹0,3
- 08b) Cálculo correcto de A⁹0,3
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cuándo es invertible una potencia de A?
Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es cero, y det(Aⁿ) = (det A)ⁿ.
Pista 2 · ¿Cómo evitar multiplicar A nueve veces?
En b), escribe A⁹ como potencia de A³ y aplica la igualdad que acabas de comprobar, sin multiplicar nueve veces.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula el determinante de ATribunal: cálculo del determinante de A0,3
Desarrollando por la primera fila: det A = a(a·a − 1·1) − 1·(1·a − 1·0) + 0 = a(a² − 1) − a = a³ − 2a. Sácalo factor común para ver sus raíces de inmediato: det A = a(a² − 2).
02a · Halla los tres valores de a que anulan det ATribunal: determinación del valor a = 0 · determinación del valor a = √2 · determinación del valor a = −√20,3
a(a² − 2) = 0 si a = 0 o si a² = 2, es decir, a = √2 o a = −√2. Son tres valores y cada uno puntúa por separado: no te quedes solo con a = 0 ni olvides la raíz negativa. Para cualquier otro a, det A ≠ 0 y A es invertible.
03a · Justifica el paso de A a A²⁰²⁶ con det(Aⁿ) = (det A)ⁿTribunal: argumentación de que la potencia es invertible0,4
Por la propiedad del determinante de un producto, det(A²⁰²⁶) = (det A)²⁰²⁶. Una potencia de un número real es cero si y solo si el número es cero, así que A²⁰²⁶ es invertible exactamente cuando lo es A: para a ∉ {0, √2, −√2}. El exponente par hace que el determinante sea positivo cuando no es nulo, pero no cambia los valores excluidos: para ser invertible basta con que el determinante sea distinto de cero, no hace falta que sea positivo.
04b · Calcula A² y A³ con a = 0 y compara con 2ATribunal: comprobación de la igualdad A³ = 2A0,4
Con a = 0, A tiene filas (0, 1, 0), (1, 0, 1) y (0, 1, 0). Entonces A² = A·A tiene filas (1, 0, 1), (0, 2, 0) y (1, 0, 1), y A³ = A²·A tiene filas (0, 2, 0), (2, 0, 2) y (0, 2, 0), que es exactamente 2A. Para comprobar una igualdad entre matrices calcula los dos lados y compáralos entrada a entrada.
05b · Reduce A⁹ con la igualdad A³ = 2A y calcúlalaTribunal: intento de utilizar la igualdad para calcular A⁹ · cálculo correcto de A⁹0,6
No hace falta multiplicar nueve veces: escribe A⁹ = (A³)³ y sustituye A³ = 2A. El escalar también se eleva al cubo, (2A)³ = 2³A³ = 8A³, y no 2A³; aplicando otra vez la igualdad, 8A³ = 8·(2A) = 16A. Por tanto, A⁹ tiene filas (0, 16, 0), (16, 0, 16) y (0, 16, 0). Otra forma de verlo: A⁹ = A³·A³·A³ = (2A)(2A)(2A) = 8A³ = 16A.
Error típico
No justificar bien por qué A²⁰²⁶ es invertible
Lo que se suele escribir: A²⁰²⁶ invertible ⇔ det A > 0. Lo correcto: A²⁰²⁶ invertible ⇔ det A ≠ 0
Hallar los valores que anulan det A y dar la respuesta sin justificar por qué valen también para A²⁰²⁶: esa argumentación vale 0,4 puntos. Escribe la propiedad det(A²⁰²⁶) = (det A)²⁰²⁶ y concluye que solo se anula cuando det A = 0. Y no confundas «invertible» con «det A > 0»: basta con que el determinante sea distinto de cero.
Cuesta los puntos de «argumentación de que la potencia es invertible»: 0,4 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.