PAU Madrid 2027 · Matemáticas II · Modelo, no convocatoria celebrada
Pregunta 5.1: continuidad de una función a trozos y longitud de su gráfica
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- a)a = 0 y b = 3, para que los tramos empalmen en x = 2 (valor 6) y en x = 5 (valor 15): el central es f(x) = 3x.
- b)L = 2√5 ≈ 4,47: en (0, 2), f′(x) = 2 y L = ∫₀² √5 dx.
Pregunta 5.1
Sea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- a)Halle los valores de a y b para los que la función f(x) es continua en [0, 7]. (1 p)
- b)La longitud de la gráfica de una función f(x) en un intervalo [x₀, x₁] se calcula con la integral L = ∫_(x₀)^(x₁) √(1 + (f′(x))²) dx. Utilice la fórmula dada para calcular la longitud de la gráfica de f(x) en el intervalo [0, 2]. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (uam.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: obtención del sistema y obtención correcta de la integral a resolver.
- 01a) Obtención del sistema0,6
- 02a) Resolución0,4
- 03b) Obtención correcta de la integral a resolver0,5
- 04b) Primitiva0,2
- 05b) Regla de Barrow0,2
- 06b) Respuesta correcta0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Dónde puede fallar la continuidad?
Cada trozo es un polinomio, continuo en su intervalo: solo hay que exigir que los límites laterales coincidan con el valor de f en x = 2 y en x = 5.
Pista 2 · ¿Qué trozo interviene en [0, 2]?
En b), en [0, 2] solo interviene el primer trozo: deriva y sustituye la derivada en la fórmula de la longitud.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Impón la continuidad en los puntos de unión x = 2 y x = 5Tribunal: obtención del sistema0,6
Los tres trozos son polinomios, continuos en sus intervalos, así que la continuidad en [0, 7] solo puede fallar en x = 2 y en x = 5: ahí el límite por la izquierda, el valor de la función y el límite por la derecha tienen que coincidir. En x = 2, el límite por la izquierda es f(2) = 2·2 + 2 = 6 y el límite por la derecha es 4a + 2b. En x = 5, el límite por la izquierda es 25a + 5b, y f(5) = −(5 − 5)² + 15 = 15 coincide con el límite por la derecha. Resulta el sistema 4a + 2b = 6, 25a + 5b = 15.
02a · Resuelve el sistema y comprueba el tramo centralTribunal: resolución0,4
Simplificando: 2a + b = 3 y 5a + b = 3. Restando, 3a = 0, luego a = 0 y b = 3. El tramo central es 3x: vale 6 en x = 2 y 15 en x = 5, como debía, así que f es continua en todo [0, 7].
03b · Deriva el primer trozo y plantea la integral de longitudTribunal: obtención correcta de la integral a resolver0,5
En [0, 2] solo interviene el primer trozo, f(x) = 2x + 2, así que en (0, 2) f′(x) = 2. En la fórmula se eleva al cuadrado la derivada, no f(x): √(1 + (f′(x))²) = √(1 + 4) = √5, que es constante. La integral a resolver es L = ∫₀² √5 dx.
04b · Halla una primitiva, aplica Barrow y da la longitudTribunal: primitiva · regla de Barrow · respuesta correcta0,5
Una primitiva de √5 es √5·x. Por la regla de Barrow, L = √5·2 − √5·0 = 2√5 ≈ 4,4721. Comprobación geométrica: en [0, 2] la gráfica es el segmento de (0, 2) a (2, 6), de longitud √(2² + 4²) = √20 = 2√5.
Error típico
Imponer la continuidad en un solo punto de unión
Lo que se suele escribir: f continua ⇔ 4a + 2b = 6. Lo correcto: f continua ⇔ 4a + 2b = 6 y 25a + 5b = 15
Imponer la continuidad solo en x = 2 (o solo en x = 5): con una sola ecuación no puedes hallar dos incógnitas, y el sistema vale 0,6 puntos. Hay dos puntos de unión y en cada uno el límite por la izquierda, el valor de f y el límite por la derecha tienen que coincidir. Fíjate también en qué trozo contiene cada punto: f(2) sale de 2x + 2 y f(5), de −(x − 5)² + 15.
Cuesta los puntos de «obtención del sistema»: 0,6 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.1 o la 5.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Esta pregunta salió en la PAU?
No. Es del modelo de examen 2027 que publican las universidades para preparar la prueba: es un modelo, no una convocatoria celebrada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (uam.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2027 · Modelo orientativo · Matemáticas II · UAM. Publicado en uam.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 18 de octubre de 2026.