Pregunta A.2: recta tangente, teoremas de Rolle y Bolzano y área entre f(x) y f(−x)

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Plantea la recta tangente en x = π

   Planteamiento de la recta tangente en x = π0,25

   La recta tangente en x = π es y − f(π) = f′(π)(x − π). Necesitas el valor de la función y el de la derivada en ese punto, así que deriva término a término: f′(x) = 4x³ + 3πx² + 2π²x + π³.

   $$y-f(\pi )=f^{\prime }(\pi )(x-\pi )$$

   $$f^{\prime }(x)=4x^3+3\pi x^2+2{\pi }^{2}x+{\pi }^3$$
2. 02

   a · Obtén la ecuación de la recta

   Obtención de la ecuación de la recta0,25

   Cada término de f vale π⁴ en x = π, así que f(π) = 5π⁴. En la derivada, f′(π) = 4π³ + 3π³ + 2π³ + π³ = 10π³. La tangente es y = 10π³(x − π) + 5π⁴, que desarrollada queda y = 10π³x − 5π⁴.

   $$y=10{\pi }^3(x-\pi )+5{\pi }^4=10{\pi }^{3}x-5{\pi }^4$$
3. 03

   b · Aplica el teorema de Rolle a f en [−π, 0]

   Planteamiento de la versión que usa el teorema de Rolle · Resolución de la versión que usa el teorema de Rolle0,5

   Planteamiento: f es un polinomio, así que es continua en [−π, 0] y derivable en (−π, 0); si además f(−π) = f(0), Rolle asegura un c ∈ (−π, 0) con f′(c) = 0. Resolución: f(−π) = π⁴ − π⁴ + π⁴ − π⁴ + π⁴ = π⁴ y f(0) = π⁴. Se cumplen las tres hipótesis, luego existe ese punto con derivada nula.

   $$f(-\pi )={\pi }^4-{\pi }^4+{\pi }^4-{\pi }^4+{\pi }^4={\pi }^4=f(0)$$
4. 04

   b · Aplica el teorema de Bolzano a f′ en [−π, 0]

   Planteamiento de la versión que usa el teorema de Bolzano · Resolución de la versión que usa el teorema de Bolzano0,5

   Planteamiento: lo que buscas es un cero de f′, así que Bolzano se aplica a f′, no a f. f′ es un polinomio y es continua en [−π, 0]; si f′(−π) y f′(0) tienen signos opuestos, f′ se anula en algún c ∈ (−π, 0). Resolución: f′(−π) = −4π³ + 3π³ − 2π³ + π³ = −2π³ < 0 y f′(0) = π³ > 0, así que hay cambio de signo y existe c con f′(c) = 0.

   $$f^{\prime }(-\pi )=-4{\pi }^3+3{\pi }^3-2{\pi }^3+{\pi }^3=-2{\pi }^3<0<{\pi }^3=f^{\prime }(0)$$
5. 05

   c · Plantea el área entre f y g

   Planteamiento del área entre las gráficas0,5

   Al cambiar x por −x, los términos de grado impar cambian de signo: g(x) = x⁴ − πx³ + π²x² − π³x + π⁴. La diferencia es f(x) − g(x) = 2πx³ + 2π³x = 2πx(x² + π²), que es mayor o igual que 0 en [0, π] y solo se anula en x = 0. Así, f queda por encima de g en todo el intervalo y el área es la integral de f − g entre 0 y π.

   $$f(x)-g(x)=2\pi x^3+2{\pi }^{3}x=2\pi x(x^2+{\pi }^2)\ge 0\text{en }[0,\pi ]$$

   $$A={\int }_0^{\pi }(2\pi x^3+2{\pi }^{3}x)dx$$
6. 06

   c · Calcula una primitiva

   Cálculo de primitivas0,25

   Las dos son potencias de x con coeficiente constante: la primitiva de 2πx³ es πx⁴/2 y la de 2π³x es π³x². Una primitiva de f − g es F(x) = πx⁴/2 + π³x².

   $$F(x)=\frac{\pi x^4}{2}+{\pi }^3{x}^2$$
7. 07

   c · Aplica la regla de Barrow

   Aplicación de la regla de Barrow0,25

   Evalúa F en los extremos y resta: F(π) − F(0) = π⁵/2 + π⁵ − 0 = 3π⁵/2. El área vale 3π⁵/2 u² ≈ 459,03 u². Como f − g no cambia de signo en [0, π], no hace falta partir la integral.

   $$A=[\frac{\pi x^4}{2}+{\pi }^3{x}^2{]}_0^{\pi }=\frac{{\pi }^5}{2}+{\pi }^5=\frac{3{\pi }^5}{2}\approx \mathrm{459,03}$$