Pregunta B.3: tetraedro de volumen 1 con un vértice incierto y paralelepípedo

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Plantea el volumen con el producto mixto

   Planteamiento0,5

   Las tres aristas que salen de P₁ son P₁P₂ = (1, 0, −1), P₁P₃ = (0, 2, 1) y P₁P₄ = (2, a − 1, 2). El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto, así que la condición V = 1 se escribe |det(P₁P₂, P₁P₃, P₁P₄)| = 6.

   $$V=\frac{1}{6}\left|\det \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 2& 1\\ 2& a-1& 2\end{array}\right)\right|=1$$
2. 02

   a · Calcula el determinante y obtén los dos valores de a

   Obtención de los dos valores de a0,5

   Desarrollando por la primera fila, el determinante vale 1·(4 − (a − 1)) + (−1)·(0 − 4) = 9 − a. Por el valor absoluto hay dos ecuaciones: 9 − a = 6, que da a = 3, y 9 − a = −6, que da a = 15.

   $$|9-a|=6⟹9-a=\pm 6⟹a=3\text{ o }a=15$$
3. 03

   a · Descarta a = 15 y comprueba que a = 3 vale

   Eliminación de a = 15 y comprobación de que a = 3 es válida0,5

   Con a = 15, P₄ = (3, 15, 3) y la arista P₁P₄ = (2, 14, 2) mide √204 = 2√51 ≈ 14,28, más que la altura de la impresora: a = 15 no sirve. Con a = 3, P₄ = (3, 3, 3) y las seis aristas miden √2, √5, 2√3, 3, √14 y √5, todas menores que 10. El único valor posible es a = 3.

   $$|\overrightarrow{P_1{P}_4}|=\sqrt{2^2+{14}^2+2^2}=\sqrt{204}\approx \mathrm{14,28}>10$$
4. 04

   b · Plantea los vértices sumando las aristas a P₁ y a Q

   Planteamiento0,75

   Llama u = P₁P₂ = (1, 0, −1), v = P₁P₃ = (0, 2, 1) y w = P₁Q = (2, 2, 2). Los vértices del paralelepípedo son P₁ más cualquier combinación de u, v y w tomadas cero o una vez: la cara de abajo es P₁, P₁ + u, P₁ + v y P₁ + u + v, y la de arriba es la misma cara trasladada por w, es decir, Q, Q + u, Q + v y Q + u + v.

   $$P_1,P_1+\overrightarrow{u},P_1+\overrightarrow{v},P_1+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},Q,Q+\overrightarrow{u},Q+\overrightarrow{v},Q+\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$$
5. 05

   b · Calcula las coordenadas de los ocho vértices

   Resolución0,25

   La cara de P₁ da (1, 1, 1), (2, 1, 0) = P₂, (1, 3, 2) = P₃ y (1, 1, 1) + (1, 2, 0) = (2, 3, 1). La de Q da (3, 3, 3), (4, 3, 2), (3, 5, 4) y (3, 3, 3) + (1, 2, 0) = (4, 5, 3). Comprobación: los vértices opuestos (1, 1, 1) y (4, 5, 3) se diferencian en u + v + w = (3, 4, 2).