Pregunta A.3: plano perpendicular a z = 0 y rectas paralelas a distancia 1

Lo que puntúa el tribunalva copiado tal cual. Explicación del equipo de Aprueba tu Selectividad, verificada el 21 de octubre de 2026.

1. 01

   a · Plantea el vector normal del plano

   Planteamiento del plano0,5

   El plano pasa por A y B, así que contiene el vector AB = (1, 1, −1). Ser perpendicular al plano z = 0 significa que contiene la normal de ese plano, (0, 0, 1). Su vector normal tiene que ser perpendicular a los dos, y eso lo da el producto vectorial AB × (0, 0, 1).

   $$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times (0,0,1)=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 1& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$$
2. 02

   a · Calcula la normal e impón que pase por A

   Resolución0,5

   El determinante da n = (1, −1, 0), de modo que el plano es x − y + D = 0. Al sustituir A(0, 0, 1) sale D = 0: el plano es x − y = 0. Comprueba que B(1, 1, 0) lo cumple (1 − 1 = 0) y que n·(0, 0, 1) = 0, que es la perpendicularidad pedida.

   $$\overrightarrow{n}=(1,-1,0)⟹\pi \equiv x-y=0$$
3. 03

   b · Plantea la dirección común y la distancia entre las rectas

   Planteamiento de las dos rectas1

   A y B están en el plano x + z = 1 (0 + 1 = 1 y 1 + 0 = 1), así que basta con que el vector director v sea perpendicular a la normal (1, 0, 1): v = (a, b, −a), con a y b no ambos nulos. Las dos rectas comparten v por ser paralelas, y la distancia entre dos paralelas es la de un punto de una a la otra recta: d(B, r₁) = |AB × v| / |v|. Esa distancia tiene que valer 1.

   $$d(r_1,r_2)=d(B,r_1)=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{v}|}{\left|\overrightarrow{v}\right|}=1,\overrightarrow{v}=(a,b,-a)$$
4. 04

   b · Resuelve la condición y escribe las dos rectas

   Resolución0,5

   AB × v = (b − a, 0, b − a), cuyo módulo es √2·|b − a|, y |v| = √(2a² + b²). Igualar a 1 y elevar al cuadrado da 2(b − a)² = 2a² + b², es decir, b² − 4ab = 0, y de ahí b = 0 o b = 4a (en los dos casos a ≠ 0, porque si no v sería nulo). Con a = 1 salen v = (1, 0, −1), que da r₁ ≡ (λ, 0, 1 − λ) y r₂ ≡ (1 + λ, 1, −λ), o v = (1, 4, −1), que da r₁ ≡ (λ, 4λ, 1 − λ) y r₂ ≡ (1 + λ, 1 + 4λ, −λ). Comprobación: en los dos casos |AB × v| / |v| vale √2/√2 = 1 y 3√2/(3√2) = 1.

   $$2{(b-a)}^2=2a^2+b^2⟹b(b-4a)=0$$

   $$r_1\equiv (\lambda ,0,1-\lambda ),r_2\equiv (1+\lambda ,1,-\lambda )$$

   $$r_1\equiv (\lambda ,4\lambda ,1-\lambda ),r_2\equiv (1+\lambda ,1+4\lambda ,-\lambda )$$