Matemáticas · 2.º de Bachillerato · PAU
Conceptos de Matemáticas para la PAU
Los teoremas y métodos que más se usan en el examen, explicados con una figura interactiva, paso a paso y con los ejercicios reales de la PAU que los piden.
Álgebra
- Matriz inversa
La matriz inversa de A es la matriz A⁻¹ que cumple A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, la identidad. Existe si y solo si A es cuadrada y su determinante no es cero, det A ≠ 0, y se calcula como A⁻¹ = (1/det A)·(Adj A)ᵗ, con la matriz de adjuntos, o por Gauss-Jordan.
- Rango de una matriz
El rango de una matriz es el número máximo de filas, o de columnas, linealmente independientes; si no es nula, es el orden de su mayor menor no nulo. Se calcula con menores o por Gauss y, con un parámetro y un determinante no idénticamente nulo, se estudia aparte cada valor que lo anula.
Análisis
- Continuidad de una función
Una función es continua en un punto x = a cuando está definida en a, tiene límite finito en a y ese límite vale f(a): su gráfica pasa por ese punto sin saltos ni huecos. En una función a trozos, eso obliga a que los dos límites laterales en cada punto de cambio coincidan con el valor de la función.
- Derivada y recta tangente
La derivada de f en x = a es la pendiente de la recta tangente a su gráfica en el punto (a, f(a)), y se define como el límite de las pendientes de las secantes, [f(a + h) − f(a)]/h, cuando h → 0. Con ella, la tangente se escribe y − f(a) = f′(a)(x − a).
- Integración por partes
La integración por partes es un método para integrar productos: se llama u a un factor y dv al resto, y la integral de u por dv es u por v menos la integral de v por du, ∫u dv = u·v − ∫v du. Se usa cuando un factor se simplifica al derivarlo y el otro es fácil de integrar, como en x·eˣ, x²·cos x o ln x (con dv = dx).
- Integral definida y regla de Barrow
La regla de Barrow dice que, si f es continua en [a, b] y F es una primitiva suya, la integral definida de f entre a y b vale F(b) − F(a). Para un área se buscan los cortes de f con el eje, se integra en cada tramo y se suman los valores absolutos.
- Problemas de optimización
Un problema de optimización pide el valor máximo o mínimo de una magnitud, como un área, un volumen o un coste. Se resuelve escribiéndola como función de una sola variable con su dominio y comparando sus candidatos: los puntos donde la derivada se anula o no existe y los extremos del dominio.
- Teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano dice que si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de signo contrario en sus extremos, se anula al menos una vez dentro: existe c ∈ (a, b) con f(c) = 0. Sirve para demostrar que una ecuación tiene solución sin resolverla.
- Tipos de discontinuidad
Hay cuatro tipos de discontinuidad: evitable, si los límites laterales son finitos e iguales pero f(a) no existe o vale otra cosa; de salto finito, si son finitos y distintos; de salto infinito (asintótica), si alguno es +∞ o −∞; y esencial, si ninguno es infinito y alguno no existe.
Probabilidad
- Distribución binomial
La distribución binomial B(n; p) es la del número de éxitos en n pruebas independientes, cada una con dos resultados posibles y la misma probabilidad de éxito p. La probabilidad de k éxitos es P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, su media es np y su desviación típica, √(np(1 − p)).
- Distribución normal
La distribución normal N(μ; σ) es la de una variable continua con forma de campana, simétrica respecto de su media μ y con desviación típica σ. Sus probabilidades se calculan tipificando, Z = (X − μ)/σ, y leyendo en la tabla de la N(0; 1) el área P(Z ≤ z).
- Probabilidad condicionada
La probabilidad de A condicionada a B, P(A | B), es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B, y vale P(A ∩ B)/P(B) si P(B) > 0. Con ella se construyen la regla del producto, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.
- Teorema de Bayes
El teorema de Bayes da la probabilidad de cada hipótesis Aᵢ de un sistema completo sabiendo que ha ocurrido un suceso B: P(Aᵢ | B) = P(Aᵢ)·P(B | Aᵢ)/P(B), con P(B) calculada por la probabilidad total. Así se pasa de la probabilidad a priori, P(Aᵢ), a la probabilidad a posteriori, P(Aᵢ | B).