Concepto · Análisis · Matemáticas II
Integración por partes: la fórmula, cómo elegir u y dv y un ejemplo resuelto
En breve
La integración por partes es un método para integrar productos: se llama u a un factor y dv al resto, y la integral de u por dv es u por v menos la integral de v por du, ∫u dv = u·v − ∫v du. Se usa cuando un factor se simplifica al derivarlo y el otro es fácil de integrar, como en x·eˣ, x²·cos x o ln x (con dv = dx).
Dicho con precisión
Si u y v tienen derivada continua en un intervalo, ∫u(x)·v′(x) dx = u(x)·v(x) − ∫v(x)·u′(x) dx. Con du = u′(x) dx y dv = v′(x) dx se abrevia ∫u dv = u·v − ∫v du. Sale de integrar la derivada del producto, (u·v)′ = u′·v + u·v′, y despejar. En una integral definida en [a, b], el término u·v también se evalúa: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 5.1 de la ordinaria de Madrid 2026: tiras rectangulares bajo y = ln x, entre x = 1 y x = e; al doblar el número de tiras, su suma se acerca al área. El área exacta, 1 u², sale de la primitiva x·ln x − x, obtenida por partes con u = ln x y dv = dx.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Calcula la integral indefinida ∫ x·eˣ dx y, con ella, la integral definida ∫₀¹ x·eˣ dx.
Elige u y dv: u se simplifica al derivar y dv se integra fácil
En x·eˣ hay dos factores, un polinomio y una exponencial. Toma como u el que se simplifica al derivarlo, u = x, cuya derivada es 1, y como dv el resto, dv = eˣ dx, que se integra sin esfuerzo. Los logaritmos, las funciones arco (arcsen x, arctg x) y los polinomios se simplifican al derivarlos; las exponenciales, los senos y los cosenos sencillos, como eˣ, e²ˣ o cos x, se integran sin complicarse. La regla nemotécnica ALPES (arcos, logaritmos, polinomios, exponenciales, senos y cosenos) da el mismo orden: se toma como u el tipo que aparece antes en la lista. Úsala como orientación, no como ley: lo que importa es que dv se pueda integrar y que la integral que queda sea más sencilla que la de partida.
Calcula du y v y aplica la fórmula
Deriva u e integra dv: du = dx y v = eˣ. Al calcular v no hace falta sumar una constante. Sustituye en ∫u dv = u·v − ∫v du: ∫ x·eˣ dx = x·eˣ − ∫ eˣ dx. La integral que queda es inmediata, así que la primitiva es x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)·eˣ + C.
Comprueba la primitiva derivándola
Al derivar la primitiva tiene que salir el integrando, y aquí es una cuenta de una línea con la regla del producto: [(x − 1)·eˣ]′ = eˣ + (x − 1)·eˣ = x·eˣ. Si sale otra cosa, hay un error en algún paso: en du, en v, en el signo o en la integral que quedaba. Y no olvides la C: en una integral indefinida la respuesta es toda la familia de primitivas.
En la integral definida, evalúa también u·v entre los límites
Con límites, la fórmula es ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du: el término u·v se evalúa en b y en a, y la integral que queda lleva los mismos límites. Para ∫₀¹ x·eˣ dx, [x·eˣ]₀¹ = 1·e¹ − 0·e⁰ = e y ∫₀¹ eˣ dx = e − 1, así que la integral vale e − (e − 1) = 1.
O usa la primitiva con la regla de Barrow y comprueba que coinciden
También puedes partir de la primitiva F(x) = (x − 1)·eˣ del paso 2 y restar sus valores en los límites: F(1) = (1 − 1)·e¹ = 0 y F(0) = (0 − 1)·e⁰ = −1, así que F(1) − F(0) = 0 − (−1) = 1. Los dos caminos dan lo mismo. Fíjate en que F(0) no es cero: en x·eˣ − eˣ, el término −eˣ vale −1 en x = 0, porque e⁰ = 1.
Errores típicos
Elegir u y dv al revés
Si en ∫ x·eˣ dx tomas u = eˣ y dv = x dx, entonces v = x²/2 y la fórmula da x²·eˣ/2 − ∫ (x²/2)·eˣ dx. La igualdad es cierta, pero la integral nueva tiene x² y es más difícil que la de partida. Cuando la integral que queda empeora, vuelve atrás e intercambia los papeles de u y dv.
Cambiar el signo de la fórmula o el de v
La fórmula lleva un menos: u·v − ∫v du. Si escribes x·eˣ + ∫ eˣ dx, sale (x + 1)·eˣ, cuya derivada es (x + 2)·eˣ y no x·eˣ. Con senos hay otro signo que vigilar: si dv = sen x dx, entonces v = −cos x. Deriva siempre la primitiva: si no recuperas el integrando, hay un error en algún paso.
Dar por hecho que la primitiva vale 0 en el límite inferior
Con F(x) = (x − 1)·eˣ, F(0) = −1, porque e⁰ = 1. Si lo tomas como 0, la cuenta queda F(1) − 0 = 0, que es imposible: x·eˣ es positiva en (0, 1], así que su integral entre 0 y 1 tiene que ser positiva. Sustituye siempre los dos límites, también en el término u·v.
Olvidar el factor de la regla de la cadena al integrar dv
Si dv = e²ˣ dx, entonces v = e²ˣ/2, no e²ˣ: al derivar e²ˣ sale 2·e²ˣ. Un factor que falta en v se arrastra a toda la primitiva. Antes de seguir, deriva v: tiene que salir la función que multiplica a dx en dv.
Ejercicios reales de la PAU
3 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.12 puntosSea f(x) = ln(x). Halle el área de la región acotada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y la recta x = e.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 5.22 puntosHalle el valor real a tal que ∫₀^(π/3) (x − a) sen(3x) dx = 2π/9.
- Madrid 2025 · Modelo · 2.22,5 puntosDada la función f(x) = sen((π/2)x), se pide:
Corregir con foto abre muy pronto
Otros conceptos
- AnálisisContinuidad de una función
- AnálisisDerivada y recta tangente
- ProbabilidadDistribución binomial
- ProbabilidadDistribución normal
- AnálisisIntegral definida y regla de Barrow
- ÁlgebraMatriz inversa
- ProbabilidadProbabilidad condicionada
- AnálisisProblemas de optimización
- ÁlgebraRango de una matriz
- ProbabilidadTeorema de Bayes
- AnálisisTeorema de Bolzano
- AnálisisTipos de discontinuidad
Preguntas frecuentes
¿La regla ALPES funciona siempre?
Es una orientación para empezar, no una ley. Lo que decide es que dv se pueda integrar y que ∫v du sea más fácil que la integral de partida. En ∫ x³·e^(x²) dx, ALPES diría u = x³ y dv = e^(x²) dx, pero e^(x²) no tiene una primitiva que se pueda escribir con funciones elementales. Funciona partir el integrando como x²·(x·e^(x²)): u = x² y dv = x·e^(x²) dx, con v = e^(x²)/2. Queda x²·e^(x²)/2 − ∫ x·e^(x²) dx, y el resultado es (x² − 1)·e^(x²)/2 + C.
¿Qué hago si después de aplicar partes sigue quedando un producto?
Aplica partes otra vez con el mismo criterio. En ∫ x²·eˣ dx, con u = x² y dv = eˣ dx, du = 2x dx y queda x²·eˣ − 2∫ x·eˣ dx: el polinomio ha bajado a grado 1 y la integral que queda es la del ejemplo. El resultado es x²·eˣ − 2(x − 1)·eˣ + C = (x² − 2x + 2)·eˣ + C. Con un polinomio de grado n por eˣ, sen x o cos x, el polinomio baja un grado en cada aplicación, así que hacen falta n aplicaciones.
¿Y si al integrar por partes vuelve a aparecer la integral del principio?
Es el caso cíclico, como en eˣ·sen x. Llama I = ∫ eˣ·sen x dx. Con u = eˣ y dv = sen x dx, I = −eˣ·cos x + ∫ eˣ·cos x dx. Repite con u = eˣ y dv = cos x dx: ∫ eˣ·cos x dx = eˣ·sen x − I. Sustituyendo, I = −eˣ·cos x + eˣ·sen x − I, así que 2I = eˣ·(sen x − cos x) y, despejando, I = eˣ·(sen x − cos x)/2 + C. En la segunda vuelta mantén el mismo tipo de u: si tomas u = cos x, deshaces el primer paso y llegas a I = I.
¿Hay que sumar la constante C, también al calcular v?
La C se escribe una vez, al final de la integral indefinida: (x − 1)·eˣ + C. Al calcular v no hace falta: con v = eˣ + K, la fórmula da x·(eˣ + K) − ∫ (eˣ + K) dx = x·eˣ + Kx − eˣ − Kx, y la K desaparece. En una integral definida tampoco se escribe, porque se cancela al restar los valores de la primitiva en los dos límites.
¿Cuándo conviene un cambio de variable en lugar de integrar por partes?
Cuando el integrando es una función compuesta multiplicada por la derivada de lo de dentro, salvo un factor constante. En ∫ x·e^(x²) dx, el factor x es la mitad de la derivada de x²: con t = x², dt = 2x dx y la integral queda (1/2)∫ eᵗ dt = e^(x²)/2 + C. En ∫ x·eˣ dx no hay esa estructura: lo de dentro de la exponencial es x, cuya derivada es 1, y el factor x no es constante. Es un polinomio por una exponencial, el caso de partes.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 3 ejercicios resueltos de esta página: la 5.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 5.2 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 2.2 del modelo de 2025 de Matemáticas II (Madrid). Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.