Concepto · Análisis · Matemáticas II
Problemas de optimización: el método paso a paso para hallar máximos y mínimos
En breve
Un problema de optimización pide el valor máximo o mínimo de una magnitud, como un área, un volumen o un coste. Se resuelve escribiéndola como función de una sola variable con su dominio y comparando sus candidatos: los puntos donde la derivada se anula o no existe y los extremos del dominio.
Dicho con precisión
Si f es derivable en un intervalo abierto y alcanza un máximo o un mínimo relativo en un punto c de ese intervalo, entonces f′(c) = 0. Si además f″(c) < 0, en c hay un máximo relativo, y si f″(c) > 0, un mínimo relativo. Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), sus extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos a y b del intervalo.
Míralo en movimiento
Esta figura es la del ejercicio 2 de la convocatoria ordinaria de Madrid 2026: un jardín triangular con una zona techada que se enlosa al menor coste. Mueve el pomo y observa cómo cambia la zona techada mientras el rodillo recorre la curva del coste hasta su mínimo.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
De una chapa cuadrada de 12 cm de lado se recorta un cuadrado igual en cada esquina y se doblan los lados para formar una caja sin tapa. ¿Cuánto debe medir el lado de los cuadrados recortados para que el volumen sea máximo? ¿Cuál es ese volumen?
Elige las variables y escribe la función objetivo
Llama x al lado de cada cuadrado recortado y l al lado de la base de la caja, ambos en centímetros. Al doblar las solapas, la altura de la caja es x, así que la magnitud que hay que maximizar es el volumen V = l²·x. Un dibujo con las dos variables marcadas ayuda a no equivocarse en este paso.
Usa la restricción para dejar una sola variable y fija el dominio
Cada lado de la chapa pierde dos cuadrados, así que la restricción es l = 12 − 2x. Sustitúyela en el volumen: V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x. Para que haya caja, x > 0 y 12 − 2x > 0, es decir, el dominio es 0 < x < 6. Escríbelo: sirve para descartar soluciones después.
Deriva, iguala a cero y quédate con los puntos del dominio
La derivada es V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x − 2)(x − 6), que se anula en x = 2 y en x = 6. El valor x = 6 no está en el dominio: la base mediría 0 y no habría caja. El único candidato es x = 2.
Justifica que el punto crítico es un máximo
La segunda derivada es V″(x) = 24x − 96, y V″(2) = −48 < 0, así que en x = 2 hay un máximo relativo. Es el máximo absoluto: es el único punto crítico del dominio y, en sus bordes, V(0) = V(6) = 0. También sirve el signo de la derivada: V′ es positiva en (0, 2) y negativa en (2, 6), así que V crece y después decrece.
Responde a lo que se pregunta, con unidades
Hay que recortar cuadrados de 2 cm de lado. La base mide 12 − 4 = 8 cm de lado, la altura es 2 cm y el volumen máximo es 8²·2 = 128 cm³. Si el enunciado pide dimensiones, da todas las medidas, no solo el valor de x; si pide el valor óptimo, sustituye en la función, no en su derivada.
Errores típicos
No escribir el dominio de la variable
Sin dominio no hay forma de descartar soluciones: en el ejemplo, la derivada se anula también en x = 6, que daría una caja de base nula. Escribe siempre el intervalo en el que la variable tiene sentido físico y comprueba que el punto crítico está dentro.
Quedarse en f′(x) = 0 sin justificar
Que la derivada se anule no dice si el punto es un máximo, un mínimo o ninguno de los dos. Justifícalo con la segunda derivada o con el signo de la derivada a cada lado, y comprueba que es el máximo o el mínimo absoluto del dominio: con la monotonía o comparando con los demás candidatos y con los extremos.
Plantear una función objetivo incompleta
Si la magnitud tiene varias partes, como el coste de dos materiales, la función debe recogerlas todas; y si depende de dos variables, hay que usar la restricción antes de derivar. Una función que solo recoge una parte, o que se deriva con dos variables a la vez, no representa el problema.
Ejercicios reales de la PAU
3 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 22 puntosSe quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m y 56 m. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta 30 €/m² y la parte no techada, 50 €/m² pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 22 puntosUn diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 22,5 puntosUn agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como A, B, C, D y E. Se sabe que A, B, D y E forman un rectángulo, y que el punto C se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos B y D. ¿A qué distancia del vértice A el agricultor debe ubicar los vértices B y E si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?
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Preguntas frecuentes
¿Qué formas hay de justificar que un punto crítico es un máximo?
Para ver que es un máximo relativo hay dos formas: el signo de la segunda derivada en el punto (negativa, máximo; positiva, mínimo) o el signo de la primera a cada lado (si pasa de positiva a negativa, máximo). Pero el problema pide el máximo absoluto: compruébalo con la monotonía en todo el dominio o comparando su valor con el de todos los candidatos, extremos incluidos. En el ejemplo, x = 2 es el único punto crítico del dominio, V′ > 0 antes y V′ < 0 después, así que V(2) = 128 es el máximo absoluto.
¿Qué pasa si la derivada no se anula en el dominio?
Si f es derivable en todo el interior del intervalo, el óptimo, si existe, está en un extremo. Por ejemplo, f(x) = 2x + 1 en [0, 3] tiene derivada 2, que no se anula nunca, y su máximo es f(3) = 7, en el extremo derecho. Si hay puntos donde f no es derivable, como x = 0 en |x|, también son candidatos. Por eso, en un intervalo cerrado, evalúa siempre la función en los extremos.
¿Y si hay más de un punto crítico dentro del dominio?
Estudia todos. Calcula la función en cada candidato y, si el intervalo es cerrado, también en sus extremos, y quédate con el mayor o el menor según lo que se pida. Un máximo relativo no tiene por qué ser el máximo absoluto del problema.
¿Cómo se elige qué variable despejar en la restricción?
La que se despeje con menos cuentas y sin raíces. En el ejemplo, l = 12 − 2x ya da l en función de x, y el volumen queda como un polinomio fácil de derivar. Si una de las dos variables aparece al cuadrado o dentro de una raíz, como en x² + y = 10, conviene despejar la otra, y = 10 − x², para no arrastrar raíces en la derivada.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 3 ejercicios resueltos de esta página: la 2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 2 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid) y la 2 de la extraordinaria de 2025 de Matemáticas II (Madrid). Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.