Concepto · Probabilidad · Matemáticas II y Matemáticas CCSS II
Probabilidad condicionada: definición, regla del producto y probabilidad total
En breve
La probabilidad de A condicionada a B, P(A | B), es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B, y vale P(A ∩ B)/P(B) si P(B) > 0. Con ella se construyen la regla del producto, el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes.
Dicho con precisión
Si P(B) > 0, la probabilidad de A condicionada a B es P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B), y de ahí sale la regla del producto: P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B). Si B₁, …, Bₙ son incompatibles dos a dos, tienen probabilidad positiva y su unión es el espacio muestral, entonces P(A) = P(B₁)·P(A | B₁) + … + P(Bₙ)·P(A | Bₙ) (probabilidad total) y, si P(A) > 0, P(Bᵢ | A) = P(Bᵢ)·P(A | Bᵢ)/P(A) (Bayes).
Míralo en movimiento
Es la figura del ejercicio 1 de la extraordinaria de Madrid 2026: un cuarteador reparte las bolas por las ramas del árbol según su probabilidad. Cuando se sabe algo del alumno, se cierran los canales imposibles y se divide entre lo que queda abierto, no entre el total.
Cómo se aplica, paso a paso
Con un ejemplo, y escrito como hay que escribirlo en el examen para que puntúe.
Ejemplo
Una fábrica hace piezas con dos máquinas: M₁ fabrica el 70 % y M₂, el 30 %. Son defectuosas el 2 % de las piezas de M₁ y el 6 % de las de M₂. Se elige una pieza al azar. Calcula la probabilidad de que sea defectuosa y, si lo es, la de que la haya fabricado M₂.
Nombra los sucesos y traduce cada porcentaje
Llama M₁ y M₂ a «la pieza sale de M₁» y «sale de M₂», y D a «la pieza es defectuosa». P(M₁) = 0,7 y P(M₂) = 0,3. El 2 % y el 6 % no se refieren a todas las piezas, sino solo a las de una máquina: son condicionadas, P(D | M₁) = 0,02 y P(D | M₂) = 0,06. Antes de calcular, decide si cada dato va con barra o sin ella.
Calcula cada camino con la regla del producto
En un diagrama de árbol, la primera rama es la máquina y la segunda, si la pieza es defectuosa. La probabilidad de un camino es el producto de sus ramas: P(M₁ ∩ D) = P(M₁)·P(D | M₁) = 0,7·0,02 = 0,014 y P(M₂ ∩ D) = P(M₂)·P(D | M₂) = 0,3·0,06 = 0,018. Son intersecciones: probabilidades sobre el total de piezas.
Suma los caminos con la probabilidad total
M₁ y M₂ son incompatibles y entre las dos cubren todas las piezas: forman un sistema completo de sucesos. Una pieza defectuosa sale de una o de otra, así que P(D) = P(M₁)·P(D | M₁) + P(M₂)·P(D | M₂) = 0,014 + 0,018 = 0,032. Escribe la fórmula con los sucesos antes de sustituir: es lo que justifica la suma.
Invierte la condición con el teorema de Bayes
Ahora se sabe que la pieza es defectuosa y se pregunta por la máquina: se pide P(M₂ | D), con D detrás de la barra. Por la definición, P(M₂ | D) = P(M₂ ∩ D)/P(D): el numerador es el camino de M₂ y el denominador, la probabilidad total del paso anterior. Queda 0,018/0,032 = 9/16 = 0,5625.
Comprueba el resultado y léelo bien
La otra máquina da P(M₁ | D) = 0,014/0,032 = 7/16, y las dos suman 1, como debe ser: una pieza defectuosa viene de M₁ o de M₂. M₂ fabrica el 30 % de las piezas, pero de ella sale más de la mitad de las defectuosas, porque su proporción de defectuosas es el triple que la de M₁. Fíjate en que P(D | M₂) = 0,06 y P(M₂ | D) = 0,5625 responden a preguntas distintas.
Errores típicos
Poner la condición al revés
P(D | M₂) es la proporción de defectuosas entre las piezas de M₂, y P(M₂ | D), la proporción de piezas de M₂ entre las defectuosas. En el ejemplo valen 0,06 y 0,5625. Lo que ya se sabe va detrás de la barra: escribe el suceso que se pide antes de sustituir ningún número.
Usar una condicionada como si fuera una intersección
El dato «el 6 % de las piezas de M₂ es defectuoso» es P(D | M₂), no P(M₂ ∩ D). Para obtener la intersección hay que multiplicar por la probabilidad del grupo: P(M₂ ∩ D) = 0,3·0,06. Si sumas 0,02 + 0,06 directamente, no obtienes P(D).
Quedarse en el numerador de Bayes
P(M₂ ∩ D) = 0,018 es la probabilidad de que una pieza cualquiera sea de M₂ y defectuosa. Si ya se sabe que es defectuosa, el nuevo total son las defectuosas: hay que dividir entre P(D). El denominador de Bayes es la probabilidad total, no 1.
Confundir sucesos independientes con incompatibles
Incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez: P(A ∩ B) = 0. Independientes, que saber uno no cambia la probabilidad del otro: P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Son dos comprobaciones distintas, y si los dos sucesos tienen probabilidad positiva, ser incompatibles impide ser independientes.
Ejercicios reales de la PAU
20 ejercicios resueltos de la PAU que lo usan, con el enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.12,5 puntosSean A, B y C tres sucesos de los que se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(B) = 0,6, P(C) = 0,5, P(A | C) = 0,6, P(B | C) = 0,8, P(A ∩ B | C) = P(A | C)·P(B | C) y P(A ∩ B | Cᶜ) = 0,08. Nota: Sᶜ denota el suceso complementario (contrario) del suceso S.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 4.22 puntosSabiendo que P(B) = 0,4, P((A ∪ B)ᶜ) = 0,4 y P(B|A) = 0,2, calcule las siguientes probabilidades. El superíndice ᶜ indica el suceso complementario, representado con una barra superior en el PDF.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 2.22,5 puntosSean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio, siendo P(A) = 2/3, P(B) = 1/3 y P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1/6. Calcule, razonadamente e indicando qué resultados matemáticos se usan, las probabilidades pedidas a continuación. Nota: Aᶜ denota el suceso contrario (o complementario) del suceso A.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 4.12 puntosSe consideran los sucesos A y B de un experimento aleatorio que verifican P(Aᶜ) = 0,6, P(A ∪ B) = 0,75 y P(B|A) = 0,375 (el superíndice ᶜ indica el suceso complementario, representado con una barra superior en el PDF). Se pide:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 3.12,5 puntosSe está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 % de estudiantes de Humanidades, un 45 % de estudiantes de Ciencias y un 25 % de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 % de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 % y en Derecho el 25 %.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 3.22,5 puntosSe consideran dos sucesos A y B tales que P(A ∩ B) = 0,1, P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,7 y P(A | B) = 0,4, donde Sᶜ es el suceso complementario del suceso S (representado con una barra superior en el PDF). Resuelva las siguientes preguntas:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 12 puntosEl 85 % de los alumnos de un instituto viven en la misma localidad en la que se sitúa el centro educativo y el resto en pueblos de alrededor. El 75 % de los alumnos que acuden al instituto desde fuera de la localidad llegan puntuales a clase por la mañana y el 5 % de los alumnos que viven en la misma localidad que el centro llegan tarde a primera hora.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 3.12,5 puntosDe dos sucesos A y B se sabe que P(A) = 0,5, P(A | B) = 1/3 y P(A ∪ B) = 0,9.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 12 puntosUn virus estomacal presenta como síntomas diarreas y fiebres en un 95 % de los infectados. En un momento de presión asistencial en la Comunidad de Madrid, 40 de cada mil habitantes están infectados por dicho virus. Por otro lado, un 0,5 % de la población no infectada por el virus presenta los mismos síntomas por otras causas.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 4.12,5 puntosSea E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} un espacio muestral y P una medida de probabilidad en E definida por: P(7) = P(3) = 1/4 y con el resto de sucesos elementales equiprobables. Se consideran los sucesos A = {7, 11, 13, 19}, B = {2, 5, 7, 13, 17} y C = {3, 5, 7, 11, 13}. Se pide calcular:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosDe los 400 estudiantes de segundo de Bachillerato de un instituto a 150 les gusta jugar al fútbol, a 200 les gusta jugar al voleibol y a 100 les gusta jugar a ambos deportes. Elegido un estudiante al azar:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosEn una empresa tecnológica internacional el 70 % de los empleados son europeos, una tercera parte de los empleados no europeos se dedica al desarrollo de software, labor a la que se dedican también tres de cada siete de los empleados europeos. Por el cincuenta aniversario la empresa elige al azar un empleado que será agraciado con un importante paquete de acciones de la empresa. Con estos datos se pide:
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 4.22,5 puntosSean A y B dos sucesos en un espacio muestral, Aᶜ y Bᶜ los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que P(A) = 0,7, P(Bᶜ) = 0,2 y P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,1.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.12,5 puntosSean A, B y C tres sucesos. Se sabe que A y B son independientes. Además, se conoce la siguiente información: P(A) = 0,4, P(Bᶜ) = 0,7, P(C) = 0,5 y P(A ∩ B | C) = 0,2, donde Bᶜ denota el suceso complementario de B (representado con una barra superior en el PDF).
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 4.22,5 puntosEn una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente: el porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5 %; si el gato adulto tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90 % de las veces; y si el gato adulto no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10 % de las veces.
- Madrid 2025 · Extraordinaria · incidencias · 4.12,5 puntosSean A y B dos sucesos resultado de un experimento aleatorio tales que P(A) = 0,5, P(Bᶜ) = 0,4 y P(A ∪ B) = 0,8, siendo Bᶜ el suceso complementario de B.
- Madrid 2027 · Modelo · 3.12,5 puntosEn un club de lectura de un municipio de Madrid se sabe que al 30 % de los socios les gustan los libros de novela histórica, mientras que al 50 % de los socios les gustan los libros de ciencia ficción. Además se sabe que la probabilidad de que a un socio le gusten los libros de novela histórica sabiendo que le gustan los libros de ciencia ficción es 0,2.
- Madrid 2027 · Modelo · 3.22,5 puntosEn la plantilla de un equipo de balonmano de la liga Asobal se sabe que el 50 % de los jugadores son nacionales, el 40 % son comunitarios y el 10 % restante extracomunitarios. Se sabe que la probabilidad de que un jugador sea elegido para jugar en su selección nacional es del 80 % si el jugador es nacional, del 50 % si el jugador es comunitario y del 40 % si el jugador es extracomunitario.
- Madrid 2027 · Modelo · 32 puntosPara llegar a tiempo a primera hora al instituto, Ana debe coger a las ocho de la mañana una de las tres líneas, L1, L2 o L3, que parten de la estación de autobuses y tienen parada cerca del instituto. Las probabilidades de poder coger los autobuses a las ocho de la mañana en esta estación son de 2/3 para L1, 4/5 para L2 y 3/5 para L3. Estos tres sucesos son independientes. Si Ana está a las 8 de la mañana en la estación de autobuses, se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 4.12,5 puntosDe dos sucesos A y B sabemos que: P(A ∪ B) = 1, P(B) = 0,8 y P(Aᶜ) = 0,55, donde Aᶜ es el suceso complementario de A.
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Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre P(A | B) y P(A ∩ B)?
P(A ∩ B) mide, sobre todo el espacio muestral, la probabilidad de que ocurran los dos sucesos. P(A | B) mide la proporción de los casos de B en los que también ocurre A: el nuevo total es B. Se relacionan por la regla del producto, P(A ∩ B) = P(B)·P(A | B). En el ejemplo, P(M₂ ∩ D) = 0,018 y P(D | M₂) = 0,06.
¿Cuándo se usa el teorema de la probabilidad total?
Cuando el suceso que interesa puede ocurrir a través de varios casos que no se solapan y cubren todas las posibilidades, y conoces la probabilidad de cada caso y la condicionada dentro de cada uno. Es la suma de los caminos del árbol que acaban en ese suceso.
¿El teorema de Bayes es una fórmula distinta de la condicionada?
No. Es la definición P(Bᵢ | A) = P(Bᵢ ∩ A)/P(A) con el numerador calculado por la regla del producto y el denominador por la probabilidad total. Si recuerdas la definición y sabes hacer el árbol, tienes Bayes.
¿Cómo se comprueba si dos sucesos son independientes?
Comprueba si P(A ∩ B) = P(A)·P(B) o, si P(B) > 0, si P(A | B) = P(A). En el ejemplo, P(D) = 0,032 y P(D | M₂) = 0,06: saber que la pieza es de M₂ cambia la probabilidad de que sea defectuosa, así que D y M₂ no son independientes. Tampoco son incompatibles, porque P(M₂ ∩ D) = 0,018 no es cero.
¿Qué ejercicios de la PAU puedo practicar?
Los 20 ejercicios resueltos de esta página: la 4.1 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.2 de la ordinaria de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 2.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid), la 4.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 de Matemáticas II (Madrid), la 3.1 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y la 3.2 de la extraordinaria de 2026 de Matemáticas CCSS II (Madrid) y otros. Cada uno enlaza a su enunciado oficial, los criterios del tribunal y la solución paso a paso.
Fuente
Explicación de elaboración propia, verificada y actualizada el 18 de octubre de 2026. Los ejercicios son de exámenes oficiales de la PAU: cada uno cita su fuente y sus criterios.