PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria · incidencias
Pregunta 4.2: independencia de complementarios, intersección y condicionada a partir de P(A), P(Bᶜ) y P(Aᶜ ∩ Bᶜ)
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)no son independientes: P(Aᶜ)·P(Bᶜ) = 0,06 ≠ 0,1 = P(Aᶜ ∩ Bᶜ).
- b)P(A ∩ B) = 0,6: 0,7 + 0,8 − P(A ∪ B), con P(A ∪ B) = 1 − 0,1.
- c)P(Aᶜ | B) = 0,25: P(Aᶜ ∩ B) = 0,8 − 0,6 = 0,2, dividido entre P(B) = 0,8.
Pregunta 4.2
Sean A y B dos sucesos en un espacio muestral, Aᶜ y Bᶜ los correspondientes sucesos complementarios. Se sabe que P(A) = 0,7, P(Bᶜ) = 0,2 y P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,1.
- a)Razone si Aᶜ y Bᶜ son dos sucesos independientes. (0,5 p)
- b)Calcule P(A ∩ B). (1 p)
- c)Calcule P(Aᶜ | B). (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos.
- 01a) Cálculo correcto de P(Aᶜ)·P(Bᶜ)0,25
- 02a) Respuesta correcta y justificada0,25
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,5
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
- 05c) Planteamiento del apartado c)0,5
- 06c) Resolución del apartado c)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo te deshaces de los complementarios?
Pasa primero a probabilidades de A y de B: un complementario tiene probabilidad 1 menos la del suceso, y una intersección de complementarios se reescribe con las leyes de De Morgan.
Pista 2 · ¿Qué tienes que comparar en a)?
Para decidir la independencia, compara el producto de probabilidades con la probabilidad de la intersección. En c), la condición es B: es lo que va en el denominador.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Calcula P(Aᶜ)·P(Bᶜ)Tribunal: cálculo correcto de P(Aᶜ)·P(Bᶜ)0,25
El complementario de A tiene probabilidad P(Aᶜ) = 1 − P(A) = 1 − 0,7 = 0,3, y P(Bᶜ) = 0,2 te la dan directamente. El producto vale P(Aᶜ)·P(Bᶜ) = 0,3·0,2 = 0,06.
02a · Compara con P(Aᶜ ∩ Bᶜ) y concluyeTribunal: respuesta correcta y justificada0,25
Dos sucesos son independientes si la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades. Aquí P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,1 y P(Aᶜ)·P(Bᶜ) = 0,06, que son distintos, así que Aᶜ y Bᶜ no son independientes. Escribe la comparación explícita: sin ella la respuesta no está justificada.
03b · Pasa a la unión con De Morgan y plantea P(A ∩ B)Tribunal: planteamiento del apartado b)0,5
Por las leyes de De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ: no ocurre ni A ni B justo cuando no ocurre la unión. Por eso P(A ∪ B) = 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − 0,1 = 0,9. Con P(B) = 1 − P(Bᶜ) = 0,8, despeja la intersección de la fórmula de la unión: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B).
04b · Calcula la intersecciónTribunal: resolución del apartado b)0,5
Sustituyendo, P(A ∩ B) = 0,7 + 0,8 − 0,9 = 0,6. Comprueba la coherencia: 0,6 no supera ni P(A) = 0,7 ni P(B) = 0,8, y al recalcular P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 1 − 0,7 − 0,8 + 0,6 sale 0,1, el dato del enunciado.
05c · Plantea la probabilidad condicionadaTribunal: planteamiento del apartado c)0,5
Por definición, P(Aᶜ | B) = P(Aᶜ ∩ B)/P(B). El numerador es la parte de B en la que no ocurre A: B se reparte entre A ∩ B y Aᶜ ∩ B, así que P(Aᶜ ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B).
06c · Calcula P(Aᶜ | B)Tribunal: resolución del apartado c)0,5
El numerador vale P(Aᶜ ∩ B) = 0,8 − 0,6 = 0,2, y dividiendo entre P(B) = 0,8 queda P(Aᶜ | B) = 0,25. Comprobación: P(A | B) = 0,6/0,8 = 0,75 y, como debe ocurrir, P(A | B) + P(Aᶜ | B) = 1.
Error típico
Tomar 1 − P(Aᶜ ∩ Bᶜ) por P(A ∩ B)
Lo que se suele escribir: P(A ∩ B) = 1 − 0,1 = 0,9. Lo correcto: P(A ∪ B) = 1 − 0,1 = 0,9
En b) se suele leer P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,1 como si fuera el complementario de A ∩ B y escribir P(A ∩ B) = 1 − 0,1 = 0,9. Pero lo contrario de «no ocurre A y no ocurre B» es «ocurre A o B»: por De Morgan, Aᶜ ∩ Bᶜ = (A ∪ B)ᶜ, así que 1 − 0,1 = 0,9 es P(A ∪ B). Tampoco vale multiplicar 0,7·0,8: el apartado a) acaba de mostrar que no hay independencia. Escribe la ley de De Morgan antes de restar de 1.
Cuesta los puntos de «planteamiento del apartado b)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria, examen de incidencias · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.