PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 4.1: sucesos en un espacio muestral no equiprobable
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- a)7/12 ≈ 0,5833: (A − C)ᶜ ∩ B es el propio B, porque A − C = {19} y 19 no está en B.
- b)0: A ∩ B = {7, 13} está dentro de C, así que no tiene nada en común con Cᶜ = {2, 17, 19}.
Pregunta 4.1
Sea E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} un espacio muestral y P una medida de probabilidad en E definida por: P(7) = P(3) = 1/4 y con el resto de sucesos elementales equiprobables. Se consideran los sucesos A = {7, 11, 13, 19}, B = {2, 5, 7, 13, 17} y C = {3, 5, 7, 11, 13}. Se pide calcular:
- a)P((A − C)ᶜ ∩ B). (1,25 p)
- b)P((A ∩ B) | Cᶜ). (1,25 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2,5 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: planteamiento del apartado a) y planteamiento del apartado b).
- 01a) Planteamiento del apartado a)0,75
- 02a) Resolución del apartado a)0,5
- 03b) Planteamiento del apartado b)0,75
- 04b) Resolución del apartado b)0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cuánto vale cada suceso elemental?
Antes de calcular nada, reparte la probabilidad: dos sucesos elementales tienen una probabilidad dada y los demás se reparten lo que queda a partes iguales.
Pista 2 · ¿Qué elementos tiene cada suceso?
Escribe cada suceso como lista de elementos (diferencias, complementarios e intersecciones) y solo al final suma probabilidades.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Asigna las probabilidades y simplifica el sucesoTribunal: planteamiento del apartado a)0,75
Primero reparte la probabilidad: P(7) + P(3) = 1/2, y el 1/2 restante se divide entre los otros seis sucesos elementales, 1/12 cada uno. Después trabaja con conjuntos: A − C son los elementos de A que no están en C, es decir, {19}. Su complementario es todo E salvo el 19, y al cortarlo con B queda B entero, porque 19 ∉ B: (A − C)ᶜ ∩ B = B = {2, 5, 7, 13, 17}.
02a · Suma las probabilidades de los elementos de BTribunal: resolución del apartado a)0,5
B contiene el 7, que vale 1/4, y otros cuatro elementos de 1/12 cada uno: P(B) = 1/4 + 4/12 = 3/12 + 4/12 = 7/12 ≈ 0,5833. Comprueba el reparto: 1/4 + 1/4 + 6·(1/12) = 1.
03b · Plantea la probabilidad condicionadaTribunal: planteamiento del apartado b)0,75
Por definición, P((A ∩ B) | Cᶜ) = P(A ∩ B ∩ Cᶜ)/P(Cᶜ), y está bien definida porque Cᶜ = {2, 17, 19} tiene probabilidad 3/12 = 1/4 > 0. Calcula los dos sucesos: A ∩ B = {7, 13}, y los dos elementos están en C.
04b · Calcula la intersección y la probabilidadTribunal: resolución del apartado b)0,5
Como A ∩ B = {7, 13} ⊂ C, su intersección con Cᶜ es vacía: A ∩ B ∩ Cᶜ = ∅ y su probabilidad es 0. Por tanto, P((A ∩ B) | Cᶜ) = 0/(1/4) = 0. Tiene sentido: si sabes que ha salido un elemento fuera de C, no puede ser ni el 7 ni el 13.
Error típico
Aplicar Laplace en un espacio no equiprobable
Lo que se suele escribir: P(B) = 5/8. Lo correcto: P(B) = 1/4 + 4/12 = 7/12
El error más caro es aplicar la regla de Laplace como si los ocho resultados fueran igual de probables: con eso, P(B) saldría 5/8. Pero aquí el 3 y el 7 valen 1/4 cada uno y el resto 1/12, así que la probabilidad de un suceso es la suma de las de sus elementos. Haz primero la tabla de probabilidades de E, comprueba que suma 1 y suma después elemento a elemento.
Cuesta los puntos de «resolución del apartado a)»: 0,5 puntos de 2,5.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2,5 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.