PAU Madrid 2025 · Matemáticas II · Ordinaria

Pregunta 2: extremos de un coseno y áreas de un muro pintado por grafiteros

Tema · Derivadas
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Obligatoria
Solución verificada

En breveOcultar para practicarMostrar el resultado

a)máximo = 3 y mínimo = 1, comparando f(0), f(9) y f(12); sí, cabe en el muro.
b)24 − 9√3/(2π) ≈ 21,52 m² bajo f y 12 + 9√3/(2π) ≈ 14,48 m² encima.
c)8 botes, porque el área bajo f entre los 3 m² de cada bote da ≈ 7,17 y hay que redondear hacia arriba.

Pregunta 2

PAU Madrid 2025 · OrdinariaAnálisis2,5 puntos

Un muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x) = cos(πx/9) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.

a)Halle el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x) en el intervalo [0, 12]. ¿Está la curva en este intervalo [0, 12] contenida completamente en el muro? (0,75 p)
b)Halle el área que tienen que pintar de cada color. (1,25 p)
c)¿Cuántos botes de spray se tienen que comprar como mínimo para pintar toda el área bajo la curva f(x)? (0,5 p)

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

Empieza a estudiar · muy pronto

Corregir con foto abre muy pronto

Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2,5 puntos.

Los criterios, a escala2,5puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Cálculo correcto de los valores máximo y mínimo0,5
02a) Respuesta correcta a la pregunta: si la curva está contenida en el muro0,25
03b) Área de una región con una integral definida: planteamiento0,5
04b) Área de una región con una integral definida: resolución0,5
05b) Cálculo del área de la segunda región0,25
06c) Planteamiento del apartado c)0,25
07c) Resolución del apartado c)0,25

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Dónde se buscan el máximo y el mínimo?

Para los extremos en un intervalo cerrado, compara el valor de f en los puntos donde se anula la derivada y en los dos extremos del intervalo.

Pista 2 · ¿Cómo se reparten las dos regiones?

Cada color ocupa una región: la de debajo de la curva sale de una integral definida y la otra, del área total del muro.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Halla los extremos de f en [0, 12]Tribunal: cálculo correcto de los valores máximo y mínimo0,5
Deriva: f′(x) = −(π/9)·sen(πx/9), que se anula cuando πx/9 = kπ, es decir, en x = 9k; dentro de [0, 12] solo quedan x = 0 y x = 9. En un intervalo cerrado los extremos absolutos están entre los puntos críticos y los extremos del intervalo, así que compara f(0) = cos 0 + 2 = 3, f(9) = cos π + 2 = 1 y f(12) = cos(4π/3) + 2 = 3/2. El máximo es 3, en x = 0, y el mínimo es 1, en x = 9. Cuadra con que el coseno vale entre −1 y 1: f nunca sale de [1, 3].
$f^{'} (x) = - \frac{π}{9} sen \frac{π x}{9} = 0 ⟹ x = 0, x = 9 en [0, 12]$
$f (0) = 3, f (9) = 1, f (12) = \frac{3}{2}$
Tribunal
Cálculo correcto de valores máximos y mínimos: 0,5 puntos.
0,5de 2,5
02a · Compara la curva con la altura del muroTribunal: respuesta correcta a la pregunta: si la curva está contenida en el muro0,25
El muro ocupa el rectángulo 0 ≤ x ≤ 12, 0 ≤ y ≤ 3. Como en [0, 12] se cumple 1 ≤ f(x) ≤ 3, la curva no baja del suelo ni pasa de los 3 m de altura: sí está contenida completamente en el muro. Solo toca el borde superior en el punto (0, 3), la esquina superior izquierda, y eso no la saca del muro.
Tribunal
Respuesta correcta de la pregunta: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
03b · Plantea y calcula el área bajo la curvaTribunal: área de una región con una integral definida: planteamiento · área de una región con una integral definida: resolución1
La curva parte el muro en dos regiones: la de debajo, entre f y el suelo y = 0, y la de encima, entre f y el borde y = 3. Como f(x) ≥ 1 > 0, el área de debajo es directamente A₁ = ∫₀¹² (cos(πx/9) + 2) dx, sin valor absoluto. Una primitiva de cos(πx/9) es (9/π)·sen(πx/9), y lo compruebas derivando. Por Barrow, A₁ = (9/π)·sen(4π/3) + 24 − 0 = 24 − 9√3/(2π) ≈ 21,52 m², porque sen(4π/3) = −√3/2.
$A_{1} = \int_{0}^{12} (\cos \frac{π x}{9} + 2) d x$
$A_{1} = [\frac{9}{π} sen \frac{π x}{9} + 2 x]_{0}^{12} = \frac{9}{π} sen \frac{4 π}{3} + 24 = 24 - \frac{9 \sqrt{3}}{2 π} \approx 21,52 m^{2}$
Tribunal
Cálculo del área de una región con una integral definida: 1 punto (planteamiento: 0,5 puntos, resolución: 0,5 puntos).
1de 2,5
04b · Resta del muro para la segunda regiónTribunal: cálculo del área de la segunda región0,25
El muro mide 3 · 12 = 36 m², así que la región de encima mide A₂ = 36 − A₁ = 12 + 9√3/(2π) ≈ 14,48 m². Es lo mismo que integrar la distancia entre el borde superior y la curva, ∫₀¹² (3 − f(x)) dx = 36 − A₁. Comprueba: 21,52 + 14,48 = 36.
$A_{2} = 3 \cdot 12 - A_{1} = 12 + \frac{9 \sqrt{3}}{2 π} \approx 14,48 m^{2}$
Tribunal
Cálculo del área de la segunda región: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
05c · Plantea cuántos botes cubren el área bajo la curvaTribunal: planteamiento del apartado c)0,25
Toda el área bajo la curva es A₁, la del apartado b), y cada bote pinta 3 m². Con n botes se pintan 3n m², así que necesitas el menor entero n con 3n ≥ A₁, es decir, n ≥ A₁/3.
Tribunal
Planteamiento: 0,25 puntos.
0,25de 2,5
06c · Divide y redondea hacia arribaTribunal: resolución del apartado c)0,25
A₁/3 = (24 − 9√3/(2π))/3 ≈ 7,17. Con 7 botes solo se pintan 21 m², menos que los 21,52 m² que hay, así que hacen falta como mínimo 8 botes. Aquí no se redondea al entero más próximo: el bote que se empieza también hay que comprarlo.
Tribunal
Resolución: 0,25 puntos.
0,25de 2,5

Error típico

Olvidar el factor 9/π en la primitiva del coseno

Lo que se suele escribir: ~~∫cos(πx/9) dx = sen(πx/9) + C~~. Lo correcto: ∫cos(πx/9) dx = (9/π)·sen(πx/9) + C

Al integrar cos(πx/9) es habitual escribir sen(πx/9) sin más, o multiplicar por π/9 como si se estuviera derivando. Al integrar, la constante del argumento divide: la primitiva es (9/π)·sen(πx/9). Sin ese factor, el área bajo la curva sale 24 − √3/2 ≈ 23,13 m² y la segunda región también queda mal. Deriva tu primitiva antes de aplicar Barrow: tiene que devolverte cos(πx/9).

Cuesta los puntos de «área de una región con una integral definida: resolución»: 0,5 puntos de 2,5.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos

Sigue practicando

Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2,5 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2025 ordinaria · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.