Matemáticas II · Madrid · Bloque de análisis
Derivadas en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
20 ejercicios resueltos de derivadas de Matemáticas II: ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria y modelo de 2025, ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
20ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2 puntos de la 2 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
- Relaciona los lados del rectángulo y escribe la función de coste0,6/2Relación entre x e y y función de coste
- Expresa el coste en función de x y deriva0,5/2Función de una sola variable y derivar igualando a cero
- Resuelve C′(x) = 0 y comprueba que el valor es válido0,6/2Cálculo justificado del valor que optimiza
- Justifica que es un mínimo0,1/2Justificar que es un mínimo
- Obtén las dimensiones de la zona techada0,2/2Obtener las dimensiones pedidas
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de derivadas
- Madrid 2026 · Ordinaria · 22 puntosSe quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m y 56 m. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta 30 €/m² y la parte no techada, 50 €/m² pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.22 puntosSea f(x) = 3x² − sen(ax) + b si x < 0, y f(x) = 2eˣ / (1 + x²) si x ≥ 0.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 22 puntosDada la función real de variable real f(x) = |x² − 6x + 5|, se pide:
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 5.12 puntosSea la función f(x) = x² + bx.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 5.22 puntosCalcule los siguientes límites:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 22 puntosUn diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 5.12 puntosSea la función f(x) = x/ln(x). Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 22 puntosLa potencia instantánea en el momento t, P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento t. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t ∈ [0, 24): P(t) = 0 si 0 ≤ t < 8; P(t) = 3 + 3 sen((π/8)(t − 12)) si 8 ≤ t ≤ 20; P(t) = 0 si 20 < t < 24.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 5.12 puntosSea la función f(x) = (x² − 1)/(3x − a), donde a es un parámetro real.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 22,5 puntosUn muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x) = cos(πx/9) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.12,5 puntosPara la función f(x) = √(x² + 3x), se pide:
- Madrid 2025 · Extraordinaria · 22,5 puntosUn agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como A, B, C, D y E. Se sabe que A, B, D y E forman un rectángulo, y que el punto C se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos B y D. ¿A qué distancia del vértice A el agricultor debe ubicar los vértices B y E si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?
- Madrid 2027 · Modelo · 22 puntosSea la función f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1).
- Madrid 2027 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- Madrid 2027 · Modelo · 5.22 puntosSea f(x) = (−2x + 1)/(x − 1).
- Madrid 2026 · Modelo · 22 puntosDada f(x) = (x² + 1)/(|x| + 1), se pide:
- Madrid 2026 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = (1/2)(−8 + cos x) si 0 ≤ x < π/2; f(x) = a sen(x) + 4 si π/2 ≤ x < π; f(x) = 2 sen(2x) + b si π ≤ x ≤ 2π.
- Madrid 2026 · Modelo · 5.22 puntosSe considera la función f(x) = ln(x² + 1)/x si x ≠ 0, y f(x) = 0 si x = 0. Se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.
- Madrid 2025 · Modelo · 2.22,5 puntosDada la función f(x) = sen((π/2)x), se pide:
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Planteamiento · 1,5
Es fácil contar en la valla los cuatro lados del rectángulo y los dos del triángulo. Pero BD separa el rectángulo del triángulo: es interior y no está en el contorno. Con esa restricción el máximo sale en AE ≈ 19,15 m y AB ≈ 21,71 m, y se pierde el planteamiento. Recorre el contorno A → B → C → D → E → A y suma solo esos cinco lados.
Madrid 2025 · Extraordinaria · 2: ver el ejercicioObtención de la primitiva · 0,75
Al integrar por partes es habitual tomar v = −cos(πx/2), como si la primitiva de sen(kx) fuera −cos(kx) sin más. Al integrar, la constante del argumento divide: v = −(2/π)·cos(πx/2), y lo mismo ocurre en la segunda integral. Si olvidas el factor en v, la integral sale 2/π ≈ 0,64 en vez de 4/π² ≈ 0,405. Deriva tu v antes de seguir: tiene que devolverte sen(πx/2).
Madrid 2025 · Modelo · 2.2: ver el ejercicioRelación entre x e y y función de coste · 0,6
Es habitual plantear solo el coste de la zona techada, 30xy, y olvidar que el resto del jardín también se enlosa, a 50 €/m². Esa función no representa el problema y pierde los puntos del planteamiento. Escribe el coste de las dos zonas y deja claro qué lado del rectángulo es paralelo a cada cateto.
Madrid 2026 · Ordinaria · 2: ver el ejercicio
Los conceptos, explicados
Qué dice cada uno, cómo se aplica en el examen y una figura para verlo en movimiento. Todos los conceptos.
Corregir con foto · muy pronto
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Otros temas de Matemáticas II
Ejercicios resueltos de la PAU de Madrid, agrupados por lo que te preguntan. Todos los exámenes.
Preguntas frecuentes
Sobre derivadas en Matemáticas II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de derivadas en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas II: la 2 de la ordinaria de 2026 (2 puntos), la 5.2 de la ordinaria de 2026 (2 puntos), la 2 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos), la 5.1 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos), la 5.2 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos) y la 2 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Qué entra en derivadas?
Límites, continuidad y teorema de Bolzano, derivabilidad, recta tangente, monotonía, extremos, asíntotas, paridad y optimización.
¿Puedo corregirme un ejercicio de derivadas?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 20 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de derivadas de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas II de Madrid.