Matemáticas II · Madrid · Bloque de análisis
Integrales en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos
13 ejercicios resueltos de integrales de Matemáticas II: ordinaria, ordinaria · incidencias y modelo de 2025, ordinaria, ordinaria · incidencias, extraordinaria, extraordinaria · incidencias y modelo de 2026 y modelo de 2027. Aquí tienes el método, los ejercicios y los errores que más puntos cuestan.
13ejercicios resueltos de 2025, 2026 y 2027
2024: aún sin clasificar por temas. Tienes los PDF oficiales en la página de la asignatura.
El método, criterio a criterio
Así reparte el tribunal los 2 puntos de la 5.1 de la ordinaria de 2026, paso a paso:
- Halla los límites de integración0,4/2Identificación de los límites de integración
- Plantea la integral del área0,3/2Integral bien planteada
- Integra ln(x) por partes0,7/2Integración por partes
- Aplica la regla de Barrow0,4/2Regla de Barrow
- Da el área en unidades cuadradas0,2/2Respuesta correcta
Los criterios son los oficiales del examen. Los pasos y las explicaciones son nuestros.
Ejercicios de integrales
- Madrid 2026 · Ordinaria · 5.12 puntosSea f(x) = ln(x). Halle el área de la región acotada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y la recta x = e.
- Madrid 2026 · Ordinaria · incidencias · 22 puntosDada la función real de variable real f(x) = |x² − 6x + 5|, se pide:
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 22 puntosUn diseñador gráfico propone una bandera usando los colores verde, blanco y rojo. Para ello considera un rectángulo de base 8 y altura 2, toma como origen de coordenadas el extremo inferior izquierdo del rectángulo y los lados izquierdo e inferior están sobre los ejes coordenados OY e OX, respectivamente. En el rectángulo descrito traza la curva de ecuación y = 2 − ∛x que va del vértice superior izquierdo del rectángulo al vértice inferior derecho. El diseñador quiere que la parte del rectángulo que queda por encima de la curva dada sea blanca. Para la parte que queda por debajo de la curva, toma un nuevo rectángulo con el vértice inferior izquierdo en el origen de coordenadas y el superior derecho en la curva. Ese rectángulo sería verde y lo que queda sería rojo. Calcule el área que ocupa cada color en esta bandera si el diseñador quiere que el área roja sea la menor posible.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · 5.22 puntosHalle el valor real a tal que ∫₀^(π/3) (x − a) sen(3x) dx = 2π/9.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 22 puntosLa potencia instantánea en el momento t, P(t), es la derivada de la energía producida hasta el momento t. Una instalación fotovoltaica doméstica en un día despejado genera una potencia en kilowatios (kW) que se modeliza por la siguiente función con respecto a la hora del día t ∈ [0, 24): P(t) = 0 si 0 ≤ t < 8; P(t) = 3 + 3 sen((π/8)(t − 12)) si 8 ≤ t ≤ 20; P(t) = 0 si 20 < t < 24.
- Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 5.22 puntosPara la función f(x) = sen(π|x² − 1|), calcule ∫₀² x f(x) dx.
- Madrid 2025 · Ordinaria · 22,5 puntosUn muro rectangular de la biblioteca pública del barrio se va a pintar con la ayuda de unos grafiteros. La dimensión del muro es de 3 metros de alto y 12 metros de largo. Colocando la esquina inferior izquierda del muro en el origen de coordenadas, se va a utilizar la curva f(x) = cos(πx/9) + 2 para diferenciar dos regiones del muro que serán pintadas con dos colores distintos. Se sabe que con un bote de spray se pueden pintar 3 metros cuadrados de superficie.
- Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.22,5 puntosSe considera la función f(x) = (x³ − x²)/(x² + 9). Calcule la primitiva F(x) de f(x) tal que F(0) = ln 3.
- Madrid 2027 · Modelo · 22 puntosSea la función f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1).
- Madrid 2027 · Modelo · 5.12 puntosSea la función f(x) definida por f(x) = 2x + 2 si x ∈ [0, 2]; f(x) = ax² + bx si x ∈ (2, 5); f(x) = −(x − 5)² + 15 si x ∈ [5, 7].
- Madrid 2026 · Modelo · 22 puntosDada f(x) = (x² + 1)/(|x| + 1), se pide:
- Madrid 2025 · Modelo · 2.12,5 puntosSea la función f(x) = x² − 6x + 11 si x < 2; f(x) = √(5x − 1) si x ≥ 2.
- Madrid 2025 · Modelo · 2.22,5 puntosDada la función f(x) = sen((π/2)x), se pide:
Otros años · aún sin clasificar por temas
- 2024Ordinaria y ExtraordinariaOrdinaria de 2024: PDF oficialExtraordinaria de 2024: PDF oficialSolo PDF oficial
Errores que más puntos quitan
Ordenados por lo que vale el criterio que te juegas.
Integral a resolver escrita como suma de dos integrales · 0,8
El fallo que más puntos cuesta es ignorar el valor absoluto e integrar x·sen(π(x² − 1)) en todo [0, 2]. Sale −(1/(2π))·(cos 3π − cos(−π)) = 0, un resultado falso, y se pierden los 0,8 puntos de partir la integral. En [0, 1], x² − 1 es negativo, así que |x² − 1| = 1 − x². Busca siempre dónde se anula lo de dentro del valor absoluto y parte el intervalo ahí.
Madrid 2026 · Extraordinaria · incidencias · 5.2: ver el ejercicioResolución de la integral de tipo arcotangente · 0,75
Equivocar el coeficiente de la arcotangente. Para integrar 9/(x² + 9) hay que reescribirla como 1/(1 + (x/3)²), y al integrar respecto de x aparece un factor 3, porque la derivada de x/3 es 1/3. Es frecuente dejar delante el 9 del numerador o no poner ningún factor: la primitiva ya no cumple F′ = f y se pierde esa parte. Compruébalo siempre derivando: la derivada de 3·arctg(x/3) es 9/(x² + 9).
Madrid 2025 · Ordinaria · incidencias · 2.2: ver el ejercicioObtención de la primitiva · 0,75
Al integrar por partes es habitual tomar v = −cos(πx/2), como si la primitiva de sen(kx) fuera −cos(kx) sin más. Al integrar, la constante del argumento divide: v = −(2/π)·cos(πx/2), y lo mismo ocurre en la segunda integral. Si olvidas el factor en v, la integral sale 2/π ≈ 0,64 en vez de 4/π² ≈ 0,405. Deriva tu v antes de seguir: tiene que devolverte sen(πx/2).
Madrid 2025 · Modelo · 2.2: ver el ejercicio
Los conceptos, explicados
Qué dice cada uno, cómo se aplica en el examen y una figura para verlo en movimiento. Todos los conceptos.
Corregir con foto · muy pronto
¿Has hecho la 5.1? Compárala con la solución paso a paso.
Apúntate a la lista de espera y te avisamos una vez, cuando abra.
Otros temas de Matemáticas II
Ejercicios resueltos de la PAU de Madrid, agrupados por lo que te preguntan. Todos los exámenes.
Preguntas frecuentes
Sobre integrales en Matemáticas II de Madrid.
¿Cuánto valen los ejercicios de integrales en la PAU de Madrid?
En los exámenes resueltos de Matemáticas II: la 5.1 de la ordinaria de 2026 (2 puntos), la 2 de la ordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos), la 2 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos), la 5.2 de la extraordinaria de 2026 (2 puntos), la 2 de la extraordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos) y la 5.2 de la extraordinaria · incidencias de 2026 (2 puntos). Las preguntas con número 4.1, 5.2… son optativas: eliges una de las dos de su grupo.
¿Qué entra en integrales?
Primitivas inmediatas, racionales y por partes, regla de Barrow y áreas.
¿Puedo corregirme un ejercicio de integrales?
Todavía no con foto: corregir con foto abre muy pronto. Mientras tanto, compara tu folio con la solución paso a paso de los 13 ejercicios resueltos de esta página y márcate con los criterios oficiales.
¿Hay ejercicios de integrales de otros años?
Sí, pero aún no los hemos resuelto ni clasificado por temas. De 2024 tienes el PDF oficial de la universidad en la página de Matemáticas II de Madrid.