Integrales en la PAU de Madrid: ejercicios resueltos

Integral a resolver escrita como suma de dos integrales · 0,8

El fallo que más puntos cuesta es ignorar el valor absoluto e integrar x·sen(π(x² − 1)) en todo [0, 2]. Sale −(1/(2π))·(cos 3π − cos(−π)) = 0, un resultado falso, y se pierden los 0,8 puntos de partir la integral. En [0, 1], x² − 1 es negativo, así que |x² − 1| = 1 − x². Busca siempre dónde se anula lo de dentro del valor absoluto y parte el intervalo ahí.

Resolución de la integral de tipo arcotangente · 0,75

Equivocar el coeficiente de la arcotangente. Para integrar 9/(x² + 9) hay que reescribirla como 1/(1 + (x/3)²), y al integrar respecto de x aparece un factor 3, porque la derivada de x/3 es 1/3. Es frecuente dejar delante el 9 del numerador o no poner ningún factor: la primitiva ya no cumple F′ = f y se pierde esa parte. Compruébalo siempre derivando: la derivada de 3·arctg(x/3) es 9/(x² + 9).

Obtención de la primitiva · 0,75

Al integrar por partes es habitual tomar v = −cos(πx/2), como si la primitiva de sen(kx) fuera −cos(kx) sin más. Al integrar, la constante del argumento divide: v = −(2/π)·cos(πx/2), y lo mismo ocurre en la segunda integral. Si olvidas el factor en v, la integral sale 2/π ≈ 0,64 en vez de 4/π² ≈ 0,405. Deriva tu v antes de seguir: tiene que devolverte sen(πx/2).