PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias

Pregunta 5.2: integral definida con un valor absoluto dentro del seno

Tema · Integrales
Concepto · Integral definida y regla de Barrow
Opcional · 5.2 o 5.1
Solución verificada

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La integral vale 2/π ≈ 0,6366. Como x² − 1 cambia de signo en x = 1, se parte en ∫₀¹ x·sen(π(1 − x²)) dx + ∫₁² x·sen(π(x² − 1)) dx, y cada trozo vale 1/π: el factor x es, salvo una constante, la derivada del argumento del seno, así que la primitiva es un coseno.

Pregunta 5.2

PAU Madrid 2026 · Extraordinaria · incidenciasAnálisis2 puntos

Para la función f(x) = sen(π|x² − 1|), calcule ∫₀² x f(x) dx.

Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (ucm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos. Más de la mitad está en dos criterios: integral a resolver escrita como suma de dos integrales y primitivas correctas.

Los criterios, a escala2puntos

Criterios oficialesPuntos

01Integral a resolver escrita como suma de dos integrales0,8
02Primitivas correctas0,8
03Aplicación de la regla de Barrow0,2
04Respuesta correcta0,2

Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo te libras del valor absoluto?

Antes de integrar, quita el valor absoluto: mira dónde cambia de signo x² − 1 dentro del intervalo [0, 2].

Pista 2 · ¿Qué relación hay entre x y el seno?

En cada trozo, fíjate en que el factor x es, salvo una constante, la derivada de lo que hay dentro del seno.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01Quita el valor absoluto y parte la integral en dosTribunal: integral a resolver escrita como suma de dos integrales0,8
En [0, 2], x² − 1 se anula en x = 1: es negativo en [0, 1) y positivo en (1, 2]. Por eso |x² − 1| = 1 − x² en [0, 1] y |x² − 1| = x² − 1 en [1, 2]. Partiendo el intervalo en x = 1, la integral es la suma de dos integrales sin valor absoluto.
$\int_{0}^{2} x sen (π | x^{2} - 1 |) d x = \int_{0}^{1} x sen (π (1 - x^{2})) d x + \int_{1}^{2} x sen (π (x^{2} - 1)) d x$
Tribunal
Integral a resolver escrita como suma de dos integrales: 0,8 puntos.
0,8de 2
02Calcula las dos primitivasTribunal: primitivas correctas0,8
En los dos trozos, el factor x es la derivada del argumento del seno salvo una constante: la derivada de π(1 − x²) es −2πx y la de π(x² − 1) es 2πx. Como ∫ u′·sen u dx = −cos u + C, ajustando la constante salen las primitivas de abajo. Compruébalas derivando: (1/(2π))·cos(π(1 − x²)) tiene derivada (1/(2π))·(−sen(π(1 − x²)))·(−2πx) = x·sen(π(1 − x²)).
$\int x sen (π (1 - x^{2})) d x = \frac{1}{2 π} \cos (π (1 - x^{2})) + C$
$\int x sen (π (x^{2} - 1)) d x = - \frac{1}{2 π} \cos (π (x^{2} - 1)) + C$
Tribunal
Primitivas correctas: 0,8 puntos.
0,8de 2
03Aplica la regla de Barrow en cada trozoTribunal: aplicación de la regla de Barrow0,2
En [0, 1], el argumento del coseno pasa de π a 0: (1/(2π))·(cos 0 − cos π) = (1/(2π))·(1 + 1) = 1/π. En [1, 2], pasa de 0 a 3π: −(1/(2π))·(cos 3π − cos 0) = −(1/(2π))·(−1 − 1) = 1/π.
$[\frac{1}{2 π} \cos (π (1 - x^{2}))]_{0}^{1} = \frac{1}{2 π} (1 + 1) = \frac{1}{π}$
$[- \frac{1}{2 π} \cos (π (x^{2} - 1))]_{1}^{2} = - \frac{1}{2 π} (- 1 - 1) = \frac{1}{π}$
Tribunal
Regla de Barrow: 0,2 puntos.
0,2de 2
04Suma los dos trozosTribunal: respuesta correcta0,2
La integral vale 1/π + 1/π = 2/π ≈ 0,6366. El trozo de [0, 1] es positivo, como cabía esperar: ahí el argumento π(1 − x²) está entre 0 y π, donde el seno no es negativo. En [1, 2] el seno cambia de signo, así que el signo de ese trozo solo se sabe al calcularlo, y también vale 1/π.
$\int_{0}^{2} x f (x) d x = \frac{1}{π} + \frac{1}{π} = \frac{2}{π} \approx 0,6366$
Tribunal
Respuesta correcta: 0,2 puntos.
0,2de 2

Error típico

Quitar el valor absoluto sin partir la integral

Lo que se suele escribir: ~~|x² − 1| = x² − 1 en [0, 2]~~. Lo correcto: |x² − 1| = 1 − x² en [0, 1]

El fallo que más puntos cuesta es ignorar el valor absoluto e integrar x·sen(π(x² − 1)) en todo [0, 2]. Sale −(1/(2π))·(cos 3π − cos(−π)) = 0, un resultado falso, y se pierden los 0,8 puntos de partir la integral. En [0, 1], x² − 1 es negativo, así que |x² − 1| = 1 − x². Busca siempre dónde se anula lo de dentro del valor absoluto y parte el intervalo ahí.

Cuesta los puntos de «integral a resolver escrita como suma de dos integrales»: 0,8 puntos de 2.

Márcate con los criterios del tribunal

Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. En la pregunta 5 eliges una de dos opciones: la 5.2 o la 5.1.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.

Fuente

Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.