PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 4.1: recta perpendicular a un plano y puntos a distancia √3
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)r y π son secantes y perpendiculares, y se cortan en (0, 0, 0): el vector director de r, (1, 1, 1), es el normal de π.
- b)(1, 1, 1) y (−1, −1, −1): un punto de r está a distancia √3·|1 + t| de π, que vale √3 con t = 0 o t = −2.
Pregunta 4.1
Sean la recta r ≡ (x, y, z) = (1 + t, 1 + t, 1 + t), t ∈ ℝ, y el plano π : x + y + z = 0.
- a)Determine la posición relativa de la recta r y el plano π. (1 p)
- b)Halle los puntos de la recta r que se encuentran a distancia √3 del plano π. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Planteamiento0,5
- 02a) Resolución0,5
- 03b) Utilización de la fórmula de la distancia de un punto a un plano0,2
- 04b) Ecuación con valor absoluto0,2
- 05b) Obtención de las dos ecuaciones a resolver0,2
- 06b) Primer valor del parámetro t0,1
- 07b) Segundo valor del parámetro t0,1
- 08b) Primer punto correcto0,1
- 09b) Segundo punto correcto0,1
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · En a), ¿qué vectores comparas?
En a), saca de cada ecuación su vector: el director de la recta y el normal del plano. El producto escalar te dice si se cortan, y la proporcionalidad, si además forman un ángulo recto.
Pista 2 · En b), ¿cómo es un punto cualquiera de r?
En b), escribe un punto genérico de r con el parámetro t y aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano. Recuerda que esa fórmula lleva valor absoluto.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Compara el vector director de r con el normal de πTribunal: planteamiento0,5
De la ecuación de r lees un punto, P = (1, 1, 1), y el vector director, v = (1, 1, 1); de la ecuación de π, el vector normal, n = (1, 1, 1). El producto escalar v·n = 1 + 1 + 1 = 3 no es 0, así que r no es paralela a π ni está contenida en él: lo corta en un punto. Además v = n, así que r lleva la dirección de la normal y es perpendicular a π.
02a · Halla el punto de corte y concluyeTribunal: resolución0,5
Sustituye el punto genérico de r, (1 + t, 1 + t, 1 + t), en la ecuación de π: 3(1 + t) = 0, así que t = −1 y el punto es (0, 0, 0). Compruébalo: 0 + 0 + 0 = 0. Conclusión: r y π son secantes, r es perpendicular a π y se cortan en el origen.
03b · Plantea la distancia de un punto de r a π con valor absolutoTribunal: utilización de la fórmula de la distancia de un punto a un plano · ecuación con valor absoluto0,4
Un punto cualquiera de r es Pₜ = (1 + t, 1 + t, 1 + t). Usa la fórmula de la distancia de un punto a un plano: para (x₀, y₀, z₀) y π : x + y + z = 0, es |x₀ + y₀ + z₀|/√(1² + 1² + 1²). Aquí el numerador es |3(1 + t)| y el denominador √3, así que d(Pₜ, π) = 3|1 + t|/√3 = √3·|1 + t|. Igualando a √3 queda la ecuación con valor absoluto √3·|1 + t| = √3, es decir, |1 + t| = 1.
04b · Separa el valor absoluto y halla los dos valores de tTribunal: obtención de las dos ecuaciones a resolver · primer valor del parámetro t · segundo valor del parámetro t0,4
|1 + t| = 1 se cumple si 1 + t = 1 o si 1 + t = −1. La primera da t = 0 y la segunda, t = −2. Salen dos valores porque hay un punto de r a cada lado del plano, los dos a la misma distancia.
05b · Sustituye cada valor de t en rTribunal: primer punto correcto · segundo punto correcto0,2
Con t = 0 sale el punto (1, 1, 1) y con t = −2, el punto (−1, −1, −1). Compruébalo: |1 + 1 + 1|/√3 = 3/√3 = √3 y |−1 − 1 − 1|/√3 = √3. Como r es perpendicular a π y lo corta en el origen, los dos puntos son simétricos respecto de (0, 0, 0).
Error típico
Quitar el valor absoluto y quedarse con un solo punto
Lo que se suele escribir: d(Pₜ, π) = √3(1 + t). Lo correcto: d(Pₜ, π) = √3|1 + t|
En b), el fallo que más puntos cuesta es quitar el valor absoluto sin más y resolver solo 3(1 + t)/√3 = √3. Sale t = 0 y se pierde el punto (−1, −1, −1), que está al otro lado del plano: se van la ecuación con valor absoluto, una de las dos ecuaciones, un valor de t y un punto. Escribe siempre |1 + t| = 1 y sepáralo en dos ecuaciones.
Cuesta los puntos de «ecuación con valor absoluto»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.