PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Extraordinaria · incidencias
Pregunta 4.2: dos planos perpendiculares que se cortan en una recta
En breveOcultar para practicarMostrar el resultado
- a)π₁: −x + y + z = 1 y π₂: x + 2y − z = 2: π₁ contiene a r y (0, 0, 1); π₂, a r y la normal de π₁.
- b)son paralelas entre sí, porque todas son paralelas a r: cada una está en un plano con r y no la corta, así que todas tienen la dirección de r, (1, 0, 1).
Pregunta 4.2
Sea la recta r ≡ (x, y, z) = (t, 1, t), t ∈ ℝ. Se pide:
- a)Hallar dos planos que se corten en la recta r, que formen entre sí un ángulo de 90° y uno de ellos pase por el punto (0, 0, 1). (1 p)
- b)Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta r son necesariamente paralelas entre sí. (1 p)
Fuente: Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (ucm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Justificación de que el vector director de la recta r está en ambos planos0,2
- 02a) Determinación del otro vector director del primer plano0,2
- 03a) Determinación del otro vector director del segundo plano0,2
- 04a) Ecuación del primer plano: planteamiento0,1
- 05a) Ecuación del primer plano: respuesta correcta0,1
- 06a) Ecuación del segundo plano: planteamiento0,1
- 07a) Ecuación del segundo plano: respuesta correcta0,1
- 08b) Justificación de que cada recta descrita de los planos es paralela a r0,5
- 09b) Justificación del paralelismo entre las rectas0,5
Criterio general: En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · En a), ¿qué vectores definen cada plano?
En a), un plano que contiene a r tiene como vectores directores el de r y otro que salga de un punto de r. Para el primer plano, aprovecha el punto que te dan.
Pista 2 · ¿Cuándo son perpendiculares dos planos?
Para el segundo plano, piensa qué vector del primero tiene que quedar dentro de él para que formen 90°. En b), recuerda qué les pasa a dos rectas de un mismo plano que no se cortan.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Justifica que el director de r está en los dos planosTribunal: justificación de que el vector director de la recta r está en ambos planos0,2
De la ecuación de r lees un punto, A = (0, 1, 0) (con t = 0), y el vector director, v = (1, 0, 1). Si los dos planos se cortan en r, la recta está contenida en los dos: A pertenece a ambos y v es un vector director de ambos. Para cerrar cada plano falta otro vector director que no sea proporcional a v.
02a · Halla el otro vector director de cada planoTribunal: determinación del otro vector director del primer plano · determinación del otro vector director del segundo plano0,4
El primer plano, π₁, pasa por P = (0, 0, 1), así que su segundo vector director es AP = (0, −1, 1). Su vector normal es v × AP = (1, −1, −1). El segundo plano, π₂, tiene que ser perpendicular a π₁: dos planos son perpendiculares cuando sus normales lo son, así que la normal de π₁ queda dentro de π₂. Por eso el segundo vector director de π₂ es n₁ = (1, −1, −1), que no es proporcional a v.
03a · Escribe la ecuación del primer planoTribunal: ecuación del primer plano: planteamiento · ecuación del primer plano: respuesta correcta0,2
π₁ pasa por A y tiene vectores directores v y AP: el determinante con (x, y − 1, z) y esos dos vectores vale 0. Desarrollándolo sale x − y − z + 1 = 0, es decir, π₁: −x + y + z = 1. Compruébalo: (0, 0, 1) da 0 + 0 + 1 = 1, y un punto cualquiera de r, (t, 1, t), da −t + 1 + t = 1.
04a · Escribe la ecuación del segundo planoTribunal: ecuación del segundo plano: planteamiento · ecuación del segundo plano: respuesta correcta0,2
π₂ pasa por A y tiene vectores directores v y n₁. El determinante con (x, y − 1, z), v y n₁ da x + 2y − z − 2 = 0, es decir, π₂: x + 2y − z = 2. Compruébalo: (t, 1, t) da t + 2 − t = 2, así que r está en π₂, y las normales (−1, 1, 1) y (1, 2, −1) tienen producto escalar −1 + 2 − 1 = 0, así que los planos forman 90°.
05b · Justifica que cada una de esas rectas es paralela a rTribunal: justificación de que cada recta descrita de los planos es paralela a r0,5
Toma una recta s contenida en π₁ que no tenga puntos comunes con r. Como r también está en π₁, s y r son coplanarias, y dos rectas de un mismo plano o se cortan o son paralelas (o coinciden). No se cortan ni coinciden, así que s es paralela a r y su vector director es proporcional a v = (1, 0, 1). El mismo razonamiento vale para cualquier recta de π₂ que no corte a r.
06b · Concluye que son paralelas entre síTribunal: justificación del paralelismo entre las rectas0,5
Todas esas rectas tienen la misma dirección, la de v = (1, 0, 1), y dos rectas con vectores directores proporcionales son paralelas o coincidentes. Una de π₁ y otra de π₂ no pueden coincidir: estarían en π₁ ∩ π₂ = r, y no tocan a r. Dos de un mismo plano, si son distintas, tampoco. Así que son paralelas entre sí; en particular, ninguna pareja se cruza, aunque estén en planos distintos.
Error típico
Usar la normal del primer plano como normal del segundo
Lo que se suele escribir: n₂ = n₁ = (1, −1, −1). Lo correcto: n₂ = v × n₁ = (1, 2, −1)
El fallo que más puntos cuesta en a) es tomar la normal de π₁, (1, −1, −1), como normal de π₂. Si dos planos son perpendiculares, sus normales lo son, así que n₁ no es la normal de π₂: es un vector director suyo. Con n₁ como normal y pasando por r sale otra vez π₁, y se pierden el segundo vector y la ecuación del segundo plano. Calcula la normal de π₂ como v × n₁ = (1, 2, −1).
Cuesta los puntos de «determinación del otro vector director del segundo plano»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
¿Hay un error en este ejercicio?Avísanos
Sigue practicando
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.2 o la 4.1.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «En cada pregunta, aunque el procedimiento seguido sea diferente al propuesto en el documento soluciones, cualquier argumento válido que conduzca a la solución será valorado con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (ucm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 3.
Fuente
Universidades públicas de Madrid · PAU 2026 extraordinaria (incidencias) · Matemáticas II · UCM. Publicado en ucm.es, consultado el 18 de octubre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.