PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria

Pregunta 3: simétrico respecto de un plano y distancia o plano ortogonal

Tema · Geometría en el espacio
Obligatoria
Solución verificada

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a)P′ = (6, 4, −2) = 2Q − P, con Q = (4, 2, −1) el pie de la perpendicular por P.
b1)d(r, π) = 3: r es paralela a π y basta medir desde P.
b2)x − y − 2 = 0 es un plano válido: contiene a r y es paralelo a la normal de π.

Pregunta 3

PAU Madrid 2026 · OrdinariaGeometría2 puntos

Dados el plano π: 2x + 2y − z = 13 y la recta r ≡ (x−2)/1 = y/1 = z/4.

a)Halle el punto simétrico del punto P(2, 0, 0) respecto al plano π. (1 p)
b)
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes. (1 p)
1. b1)Halle la distancia entre el plano π y la recta r. (1 p)
2. b2)Halle una ecuación del plano que contiene a la recta r y es ortogonal al plano π. (1 p)

Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.

Examen oficial en PDF (upm.es)

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Dónde están los puntos

Así reparte el tribunal 2 puntos.

Los criterios, a escala3puntos

Criterios oficialesPuntos

01a) Recta normal0,2
02a) Punto de corte de recta y plano0,3
03a) Uso de la fórmula del punto medio0,3
04a) Respuesta correcta0,2
05b1) Paralelismo entre recta y plano0,2
06b1) Planteamiento de la distancia0,4
07b1) Resolución (b1)0,4
08b2) Cada vector director (0,3+0,3)0,6
09b2) Punto del plano0,2
10b2) Respuesta correcta (b2)0,2

Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.

Inténtalo primero

Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.

Pista 1 · ¿Cómo se llega al simétrico de P?

En a), el pie de la perpendicular trazada desde P al plano es el punto medio entre P y su simétrico.

Pista 2 · ¿Por dónde empezar en b1) y en b2)?

En b1), comprueba antes si la recta es paralela al plano; en b2), el plano buscado contiene el vector director de r y el vector normal de π.

Solución paso a paso

Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.

01a · Escribe la recta perpendicular a π que pasa por PTribunal: recta normal0,2
El simétrico está sobre la recta que pasa por P y es perpendicular a π, así que su vector director es el normal del plano, n = (2, 2, −1). Por P(2, 0, 0) queda (x, y, z) = (2 + 2t, 2t, −t), con t real.
$(x, y, z) = (2, 0, 0) + t (2, 2, - 1) = (2 + 2 t, 2 t, - t)$
Tribunal
Recta normal: 0,2 puntos.
0,2de 2
02a · Halla el punto donde la recta corta al planoTribunal: punto de corte de recta y plano0,3
Sustituye la recta en 2x + 2y − z = 13: 2(2 + 2t) + 2(2t) − (−t) = 4 + 9t = 13, luego t = 1. El pie de la perpendicular es Q = (4, 2, −1). Comprueba que está en π: 2·4 + 2·2 − (−1) = 13.
$2 (2 + 2 t) + 2 (2 t) - (- t) = 13 ⟹ 4 + 9 t = 13 ⟹ t = 1, Q = (4, 2, - 1)$
Tribunal
Punto de corte de recta y plano: 0,3 puntos.
0,3de 2
03a · Usa que Q es el punto medio entre P y su simétricoTribunal: uso de la fórmula del punto medio0,3
El plano biseca perpendicularmente el segmento que une un punto con su simétrico, así que Q es el punto medio de P y P′: Q = (P + P′)/2. Despeja P′ = 2Q − P. Este paso es el que separa el pie de la perpendicular del simétrico: Q está a mitad de camino.
$Q = \frac{P + P^{'}}{2} ⟹ P^{'} = 2 Q - P$
Tribunal
Uso de la fórmula del punto medio: 0,3 puntos.
0,3de 2
04a · Calcula el simétrico y compruébaloTribunal: respuesta correcta0,2
P′ = 2Q − P = (8, 4, −2) − (2, 0, 0) = (6, 4, −2). Comprobación: P′ − P = (4, 4, −2) = 2n es paralelo a la normal del plano, y P′ corresponde a t = 2 en la recta perpendicular, el doble del parámetro de Q.
Tribunal
Respuesta correcta: 0,2 puntos.
0,2de 2
05b1 · Comprueba que la recta es paralela al planoTribunal: paralelismo entre recta y plano0,2
La recta r pasa por P(2, 0, 0) y tiene vector director v = (1, 1, 4). Como v·n = 2 + 2 − 4 = 0, la dirección de r es perpendicular a la normal y, por tanto, paralela al plano. Además P no está en π, pues 2·2 + 2·0 − 0 = 4 ≠ 13: la recta es paralela y no está contenida en el plano, así que la distancia no es cero.
Tribunal
Determinación del paralelismo entre la recta y el plano: 0,2 puntos.
0,2de 2
06b1 · Plantea la distancia desde un punto de la rectaTribunal: planteamiento de la distancia0,4
Al ser paralelos, todos los puntos de r están a la misma distancia de π, así que basta usar P: d(r, π) = d(P, π). Aplica la fórmula de la distancia de un punto a un plano, con el plano escrito como 2x + 2y − z − 13 = 0.
$d (r, π) = d (P, π) = \frac{| 2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 0 - 13 |}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}}$
Tribunal
Planteamiento: 0,4 puntos.
0,4de 2
07b1 · Calcula la distanciaTribunal: resolución (b1)0,4
El numerador vale |4 − 13| = 9 y el denominador √9 = 3, así que la distancia es 9/3 = 3. Coincide con la longitud del segmento PQ del apartado a, |(2, 2, −1)| = 3, porque P es justo el punto de r que se ha proyectado sobre el plano.
$d (r, π) = \frac{| 4 - 13 |}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3$
Tribunal
Resolución: 0,4 puntos.
0,4de 2
08b2 · Elige los dos vectores directores del planoTribunal: cada vector director (0,3+0,3)0,6
Para contener a r, el plano debe admitir su vector director v = (1, 1, 4). Para ser ortogonal a π, debe contener la dirección normal de π, n = (2, 2, −1). Como v y n no son proporcionales, generan un plano.
Tribunal
Cada vector director: 0,3 puntos.
0,6de 2
09b2 · Toma un punto del planoTribunal: punto del plano0,2
Cualquier punto de r sirve, porque la recta está contenida en el plano buscado. El más cómodo es el que se lee en la ecuación continua de r: P(2, 0, 0).
Tribunal
Punto del plano: 0,2 puntos.
0,2de 2
10b2 · Escribe la ecuación del plano y compruébalaTribunal: respuesta correcta (b2)0,2
Una normal del nuevo plano es v × n = (−9, 9, 0), proporcional a (1, −1, 0). Por P queda (x − 2) − y = 0, es decir, x − y − 2 = 0; lo mismo sale al igualar a cero el determinante formado por (x − 2, y, z), v y n. Comprobación: los puntos de r, (2 + t, t, 4t), la cumplen, y (1, −1, 0)·n = 0, así que el plano es ortogonal a π.
$| \begin{matrix} x - 2 & y & z \\ 1 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & - 1 \end{matrix} | = - 9 (x - 2) + 9 y = 0 ⟹ x - y - 2 = 0$
Tribunal
Respuesta correcta: 0,2 puntos.
0,2de 2

Error típico

Dar el pie de la perpendicular como simétrico

Lo que se suele escribir: ~~P′ = (4, 2, −1)~~. Lo correcto: P′ = 2Q − P = (6, 4, −2)

El pie Q de la perpendicular no es el simétrico, sino el punto medio entre P y P′. Si das Q como respuesta, te quedas a mitad de camino y pierdes los puntos del punto medio y de la respuesta: hay que recorrer la misma distancia al otro lado del plano, P′ = 2Q − P.

Cuesta los puntos de «uso de la fórmula del punto medio»: 0,3 puntos de 2.

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Preguntas frecuentes

¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?

2 puntos de 10. Es obligatoria: la hace todo el mundo.

¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?

Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»

¿La solución es oficial?

No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.

¿Dónde está el enunciado original?

En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 1 y los criterios de corrección en la página 4.

Fuente

Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.