PAU Madrid 2026 · Matemáticas II · Ordinaria
Pregunta 4.1: baterías: normal y binomial
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- a)P(defectuosa) ≈ 0,1587, un 15,87 %: al tipificar, 21 horas quedan en (21 − 24)/3 = −1 y la tabla da 1 − 0,8413.
- b)P(al menos 9 no defectuosas) ≈ 0,5127: con B(10; 0,8413), se suman los casos de 9 y de 10 no defectuosas.
Pregunta 4.1
El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media μ = 24 horas y desviación típica σ = 3 horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 21 horas.
- a)Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa. (1 p)
- b)Un distribuidor recibe un lote de 10 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos 9 teléfonos con la batería no defectuosa? (1 p)
Fuente: Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Solución verificada con sus criterios.
Examen oficial en PDF (upm.es)Corregir con foto abre muy pronto
Dónde están los puntos
Así reparte el tribunal 2 puntos.
- 01a) Identificación del suceso0,3
- 02a) Tipificación0,2
- 03a) Uso correcto de la tabla0,3
- 04a) Respuesta correcta0,2
- 05b) Identificación de la binomial0,2
- 06b) Parámetro n0,1
- 07b) Parámetro p0,1
- 08b) Identificación del suceso0,2
- 09b) Resolución0,4
Criterio general: Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.
Inténtalo primero
Resuélvelo en papel sin mirar. Si te atascas, abre una pista. Al acabar, compáralo con la solución o márcate con los criterios del tribunal.
Pista 1 · ¿Cómo llevar las 21 horas a la tabla?
En a), tipifica las 21 horas y usa la simetría de la normal: la tabla solo da valores positivos de z.
Pista 2 · ¿Qué casos incluye «al menos 9»?
En b), decide qué cuenta tu binomial y traduce «al menos 9» en los valores concretos que puede tomar la variable.
Míralo en movimiento
Una figura interactiva de este ejercicio. Muévela antes o después de resolverlo.
Solución paso a paso
Tribunales el criterio oficial, literal. Lo demás es nuestra explicación, verificada.
01a · Identifica el suceso «batería defectuosa»Tribunal: identificación del suceso0,3
Llama T a la duración de una batería, en horas: T sigue una normal N(24; 3). Que una batería sea defectuosa es el suceso T < 21, así que lo que se pide es P(T < 21). Al ser una distribución continua, incluir o no exactamente las 21 horas no cambia la probabilidad.
02a · Tipifica la duraciónTribunal: tipificación0,2
Resta la media y divide por la desviación típica: Z = (T − 24)/3 sigue una N(0; 1). El valor 21 se transforma en (21 − 24)/3 = −1, de modo que P(T < 21) = P(Z < −1).
03a · Lee la tabla y aplica la simetría de la normalTribunal: uso correcto de la tabla0,3
La tabla de la normal del examen solo recoge valores positivos de z, así que pasa a uno positivo por simetría: P(Z < −1) = P(Z > 1) = 1 − P(Z < 1). En la fila 1,0 y la columna 0,00 se lee P(Z < 1) = 0,8413, luego P(Z < −1) = 1 − 0,8413 = 0,1587.
04a · Da la probabilidad de batería defectuosaTribunal: respuesta correcta0,2
La probabilidad de que la batería de un teléfono elegido al azar sea defectuosa es P(defectuosa) ≈ 0,1587, un 15,87 %. Es razonable que sea menor que 0,5, porque 21 horas está por debajo de la media. Anota también la probabilidad complementaria, 1 − 0,1587 = 0,8413, la de una batería no defectuosa: la necesitas en b).
05b · Identifica la distribución binomialTribunal: identificación de la binomial0,2
Llama Y al número de teléfonos del lote con la batería no defectuosa. Cada teléfono es un ensayo con dos resultados posibles (no defectuosa o defectuosa), los ensayos son independientes y la probabilidad de éxito es la misma en todos: Y sigue una distribución binomial.
06b · Fija los parámetros n y pTribunal: parámetro n · parámetro p0,2
El lote tiene n = 10 teléfonos y el éxito es «batería no defectuosa», con p = 1 − 0,1587 = 0,8413 según a): Y ~ B(10; 0,8413). Si en a) te hubiera salido otro valor, el tribunal puntúa este apartado con ese valor, así que un error en a) no te cuesta los puntos de b) si los calculas bien con tu resultado.
07b · Traduce «al menos 9» en valores de YTribunal: identificación del suceso0,2
«Al menos 9 teléfonos con la batería no defectuosa» significa Y ≥ 9, y como el lote tiene 10 teléfonos, Y solo puede valer 9 o 10. El suceso es, por tanto, {Y = 9} ∪ {Y = 10}: dos casos incompatibles cuyas probabilidades se suman.
08b · Calcula P(Y ≥ 9) con la binomialTribunal: resolución0,4
Con la fórmula de la binomial, P(Y = 9) = C(10, 9)·0,8413⁹·0,1587 ≈ 0,3351 y P(Y = 10) = C(10, 10)·0,8413¹⁰ ≈ 0,1776. Sumando, P(al menos 9 no defectuosas) ≈ 0,5127. Si conservas la probabilidad de la normal sin redondear, p ≈ 0,8413447461, el resultado es ≈ 0,5129: la pequeña diferencia procede de la tabla, no de un planteamiento distinto.
Error típico
Tomar «al menos 9» como «exactamente 9»
Lo que se suele escribir: P(Y ≥ 9) = P(Y = 9). Lo correcto: P(Y ≥ 9) = P(Y = 9) + P(Y = 10)
Es habitual calcular solo P(Y = 9), pero «al menos 9» incluye también el lote con los 10 teléfonos sin defecto: te quedas en ≈ 0,3351 y pierdes los puntos del suceso. Decide antes qué cuenta tu binomial: si cuenta baterías no defectuosas, p = 0,8413 y sumas Y = 9 e Y = 10; si cuenta defectuosas, p = 0,1587 y el suceso equivalente es «como máximo 1 defectuosa».
Cuesta los puntos de «identificación del suceso»: 0,2 puntos de 2.
Márcate con los criterios del tribunal
Compara tu folio con la solución y marca lo que tienes completo.
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Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale esta pregunta en la PAU de Madrid?
2 puntos de 10. En la pregunta 4 eliges una de dos opciones: la 4.1 o la 4.2.
¿Me lo puntúan si lo hago de otra forma?
Sí. Según los criterios generales del examen: «Aunque el procedimiento sea distinto al de las soluciones tipo, cualquier argumento válido que conduzca a la solución se valora con la puntuación asignada.»
¿La solución es oficial?
No. El enunciado y los criterios son de las universidades públicas de la Comunidad de Madrid. La explicación paso a paso es nuestra y está verificada.
¿Dónde está el enunciado original?
En el PDF oficial (upm.es): el enunciado en la página 2 y los criterios de corrección en la página 4.
Fuente
Universidades públicas de la Comunidad de Madrid — PAU 2025-2026, Matemáticas II, ordinaria. Publicado en upm.es, consultado el 15 de septiembre de 2026. Enunciado y criterios oficiales; pistas y explicación de elaboración propia, revisada el 19 de octubre de 2026.